ApolloniusCircles

1. Απολλώνιοι κύκλοι τριγώνου (ΙΙ)

Έστω ότι a=|BC|, b=|CA|, c=|AB| είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ABC. Ο Απολλώνιος κύκλος a' της πλευράς BC είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων G, τέτοιων ώστε ο λόγος |GB|/|GC|=c/b.
Ανάλογος είναι ο ορισμός γιά τους Απολλώνιους κύκλους των πλευρών CA και AB. Οι τρεις αυτοί κύκλοι εξετάζονται στο Απολλώνιοι κύκλοι . Εδώ δίδεται ένας άλλος χαρακτηρισμός του Απολλώνιου κύκλου της πλευράς BC:

Είναι ο τόπος των σημείων G, έτσι ώστε τα ποδικά τους τρίγωνα DEF (δες Pedal.html ) είναι ισοσκελή με την κορυφή επί της BC.

Η ιδιότητα προκύπτει από τον κανόνα του ημιτόνου:
|ED|/|EF| = (|GB|*sin(B))/(|GC|*sin(C))=c*sin(B)/b*sin(C)=1.

2. Ισόπλευρα κυκλοσεβιανά

Κυκλοσεβιανό τριγώνου ABC ως προς σημείο P λέγεται το τρίγωνο A'B'C' που προκύπτει τέμνοντας τον περίκυκλο (c) του ABC με τις ευθείες {PA, PB, PC} . Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι:
Τα κυκλοσεβιανά τρίγωνα των ισοδυναμικών σημείων του τριγώνου είναι ισόπλευρα τρίγωνα.

Τα δύο ισοδυναμικά σημεία {I, I'} τριγώνου ABC είναι τα κοινά σημεία τομής των Απολλώνιων κύκλων του (δες Ισοδυναμικά σημεία τριγώνου ). Κατά τα προηγούμενα τα ποδικά αυτών των σημείων θα είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Αποδεικνύεται όμως ότι τα ποδικά είναι όμοια των αντιστοίχων κυκλοσεβιανών (δες Κυκλοσεβιανό τριγώνου ), εξ' ου και το συμπέρασμα.
Δεδομένου ότι τα δύο ισοδυναμικά σημεία είναι αντίστροφα ως προς τον περίκυκλο, υπάρχει ένα ακριβώς σημείο εντός και ένα εκτός του περικύκλου που έχουν κυκλοσεβιανά ισόπλευρα.

Δείτε ακόμη

Απολλώνιοι κύκλοι
Ισοδυναμικά σημεία τριγώνου
Κυκλοσεβιανό τριγώνου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/