Apollonian_Circles

Απολλώνιοι κύκλοι

Δοθέντος τμήματος ΑΒ και ενός θετικού πραγματικού αριθμού k, ο Απολλώνιος κύκλος του προσανατολισμένου ευθ. τμήματος ΑΒ, για τον λόγο k, ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ τ.ω. |ΡΑ|/|ΡΒ|=k

[1] Εάν PC και PD είναι οι διχοτόμοι της γωνίας APB, είναι γνωστό από στοιχειώδες θεώρημα ότι |CA|/|CB| = |DA|/|DB| = k, άρα τα C, D, σημεία της ευθείας AB, ανήκουν στον τόπο. Όμως η γωνία CPD είναι ορθή. Άρα κάθε σημείο P του τόπου βλέπει το ευθύγραμμο τμήμα CD υπό ορθήν γωνίαν. Επομένως ανήκει σε κύκλο διαμέτρου CD.
[2] Οι γωνίες OPA και PBO είναι ίσες. Γιά να το δεις, πρόσθεσε στην OPA την γωνία APC που δίδει την OPC. Πρόσθεσε στην PBO την γωνία CPB = APC (διότι η PC διχοτόμος) που δίδει OCP = OPC (ισοσκελές).
[3] Η ισότητα αυτών των γωνίων συνεπάγεται ότι τα τρίγωνα OPA και OPB είναι όμοια. Τούτο συνεπάγεται την |OP||OP| = |OA||OB|. Τούτο σημαίνει ότι:
(α) η OP είναι εφαπτομένη του περίκυκλου c του ABP,
(β) ότι ο Απολλώνιος κύκλος a είναι ορθογώνιος προς τον περίκυκλο c του ABP.
[4] Οι περίκυκλοι όλων των τριγώνων APB (γιά P επί του Απολλώνιου κύκλου) συγκροτούν την δέσμη κύκλων X διερχομένων διά των A, B. Ο Απολλώνιος κύκλος ανήκει στην ορθογώνια δέσμη Υ της Χ. Οι κύκλοι-μέλη της Υ χαρακτηρίζονται από τό ότι έκαστος είναι ορθογώνιος προς όλους τους κύκλους της δέσμης Χ.
Συνεπώς ο Απολλώνιος κύκλος χαρακτηρίζεται από το ότι είναι ταυτόχρονα ορθογώνιος και ως προς τον περίκυκλο του PAB και προς την ευθεία AB καθώς και ότι διέρχεται από το σημείο P.

[5] Ας θεωρήσουμε τώρα τους Απολλώνιους κύκλους των (προσανατολισμένων) πλευρών ενός τριγώνου ABC.
Εννοώ τους επόμενους κύκλους:
c₁: τόπο των σημείων P, γιά τα οποία |PB|/|PC| = |AB|/|AC|, (περνά από το A),
c₂: τόπο των σημείων P, γιά τα οποία |PC|/|PA| = |BC|/|BA|, (περνά από το B),
c₃: τόπο των σημείων P, γιά τα οποία |PA|/|PB| = |CA|/|CB|, (περνά από το C).
Έστω επίσης d ο περίκυκλος του τριγώνου ABC.

[6] Οι τρεις κύκλοι περνούν από τα σημεία K και L. Πράγματι, υπόθεσε ότι το K έιναι ένα κοινό σημείο των κύκλων c₁ και c₃. Τότε |KB|/|KC| = |AB|/|AC| και |KA|/|KB| = |CA|/|CB|. Πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις: |KA|/|KC| = |AB|/|CB|. Άρα το K ανήκει στον κύκλο c₂.
[7] Έπεται οτι τα κέντρα U, V, W των τριών κύκλων είναι επ' ευθείας. Η ευθεία αυτή ονομάζεται ευθεία του Lemoine του τριγώνου.
[8] Τα κέντρα U, V, W των c₁, c₂, c₃ είναι αντίστοιχα στις ευθείες BC, CA, AB. Επιπρόσθετα οι ευθείες UA, VB, WC είναι εφαπτόμενες του κύκλου d, στα A, B, C αντίστοιχα και c₁, c₂, c₃ είναι κύκλοι ορθογώνιοι στον d (δες [3]).
[9] Ο κύκλος d είναι ορθογώνιος στην δέσμη κύκλων τεμνομένου-τύπου περιέχουσα τους τρεις κύκλους c₁, c₂, c₃. Τούτο έχει συνέπεια την συγγραμμικότητα των σημείων K, L και O (κέντρο του d). Η ευθεία η περιέχουσα τα K, L και O (κοινός ριζικός άξονας των τριών Απολλώνιων κύκλων) λέγεται ευθεία του Brocard του τριγώνου.
[10] Έπεται ότι τα, K και L είναι αντίστροφα ως προς τον κύκλο d.
[11] Θεώρησε την αντιστροφή F₁ ως προς τον κύκλο c₁:
(i) Η F₁ αντιμεταθέτει μέλη της δέσμης των c1,c2,c3, που είναι ορθογώνιοι στον κύκλο d.
(ii) Ισχύει F₁(B) = C (όπως δείχθηκε στην αρχή της συζήτησης). Συνεπώς F₁(c₃) = c₂.
(iii) Έπεται ότι οι αντιστροφές F₁, F₂, F₃ ως προς τους τρεις κύκλους αντίστοιχα, εφαρμοζόμενες σε αυτούς τους κύκλους τους μεταθέτουν. Επειδή οι αντιστροφές διατηρούν γωνίες, όλες οι γωνίες μεταξύ των κύκλων c₁,c₂ και c₃ στο K (και το L) είναι ίσες και έχουν μέτρο 60 μοίρες.
[12] Επίσης κάθε ένα από τα κέντρα των c1, c2, c3 είναι κέντρο ομοθεσίας των δύο άλλων κύκλων.
[13] Η ιδιότητα επαφής της UA (δες [8]) συνεπάγεται ότι είναι αρμονική συζυγής του Α ως προς τις πλευρές AB, AC. Τούτο πάλι συνεπάγεται ότι ο άξονας του Lemoine είναι η τριγραμμική πολική του συμμετροδιαμέσου σημείου (μη σχεδιασθέντος) του τριγώνου. Δείτε τις αναφορές παρακάτω γιά περισσότερες λεπτομέριες.
Ένα πλήθος ιδιοτήτων. Και τούτο είναι μόνον η αρχή. Τα σημεία K, L ονομάζονται ισοδυναμικά σημεία του τριγώνου ABC.

Δείτε ακόμη

Αντιπαράλληλοι
Απολλώνια δέσμη κύκλων
Απολλώνιοιι κύκλοι
Σημεία του Brocard
Ισοδυναμικά σημεία
Συμμετροδιάμεσος Ι
Συμμετροδιάμεσος ΙΙ
Ιδιότητα συμμετροδιαμέσου
Τριγραμμική πολική

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/