Circumcevian

1. Κυκλοσεβιανό τρίγωνο

Δοθέντος τριγώνου ABC και σημείου P το κυκλοσεβιανό τρίγωνο του ABC ως προς P είναι το τρίγωνο DEF των τομών {D, E, F} των σεβιανών {AP, BP, CP} του P με τον περίκυκλο.
Η κύρια ιδιότητα του κυκλοσεβιανού είναι η ομοιότητά του με το αντίστοιχο ποδικό του σημείου P ως προς το ABC.
Στο επόμενο σχήμα το ποδικό του P είναι το τρίγωνο GHI. Η ισότητα των γωνιών υποδεικνύει την απόδειξη.

Το πρόβλημα της εύρεσης όλων των κυκλοσεβιανών A'B'C' του ABC (με άλλα λόγια προοπτικών του ABC και εγγεγραμμένων στον περίκυκλο του ABC) και όμοιων με δοθέν τρίγωνο A₀B₀C₀ ανάγεται στην εύρεση όλων των οδηγών του A'B'C' εντός του ABC. Υπάρχουν εν γένει 12 λύσεις. Μιά συζήτηση σε αυτό το θέμα γίνεται στο SixPivots.html .

2. Προβολική άποψη και εφαρμογή

Δοθέντος τριγώνου ABC και σημείου P το κυκλοσεβιανό τρίγωνο A'B'C' του ABC ως προς P είναι η εικόνα (A'B'C' = F(ABC)) του ABC μέσω της αρμονικής προοπτικότητας F που ορίζεται από το σημείο P και την πολική L_P του P ως προς τον περίκυκλο (δες Αρμονική προοπτικότητα ).

Πόρισμα Τα συμμετροδιάμεσα σημεία {K, K'} των τριγώνων ABC και A'B'C' ορίζουν ευθεία διερχόμενη από το σημείο P.

Το πόρισμα προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι τα συμμετροδιάμεσα σημεία διατηρούνται κατά την απεικόνιση F. Αυτό οφείλεται στο ότι οι συμμετροδιάμεσες ευθείες, π.χ. η Α'Α₀ στο σχήμα, και η εφαπτόμενη του περίκυκλου στην αντίστοιχη κορυφή (Α'Α₁ στο σχήμα) μαζί με τις περιέχουσες πλευρές του τριγώνου αποτελούν αρμονική δέσμη (στο σχήμα οι ευθείες (A'B', A'C', A'A₀, A'A₁)). Η απεικόνιση F διατηρεί τον κύκλο αναλλοίωτο και απεικονίζει μιά τέτοια δέσμη σε αντίστοιχη δέσμη του τριγώνου-εικόνα, εξ' ου και το συμπέρασμα.

3. Χαρακτηρισμός κύκλου Brocard

Έστω τρίγωνο ABC και το κυκλοσεβιανό τρίγωνο A'B'C' του ABC ως προς σημείο P. Τα συμμετροδιάμεσα σημεία {K, K'} των δύο τριγώνων {ABC, A'B'C'} ισαπέχουν από το P, τότε και μόνον όταν το P είναι στον κύκλο Brocard του τριγώνου ABC.

Ας υποθέσουμε ότι ισχύει PK = PK'. Τότε το σημείο τομής της ΚΚ' με την πολική L_P του P ως προς τον κύκλο είναι το σημείο στο άπειρο αυτής της ευθείας, άρα αυτή είναι παράλληλη προς την ΚΚ' και η OP είναι κάθετη στο μέσον της ΚΚ', και το P βλέπει το τμήμα OK υπό ορθή γωνία. Ο συλλογισμός αντιστρέφεται και τούτο αποδεικνύει το αντίστροφο.

Πόρισμα-1 Τα κυκλοσεβιανά τρίγωνα A'B'C' ως προς σημεία P περιεχόμενα στον κύκλο του Brocard έχουν την ίδια γωνία Brocard με το ABC (τρίγωνα με την ίδια γωνία Brocard λέγονται equibrocardian).

Το πόρισμα προκύπτει από τον τύπο [7.1] στο Σημεία και γωνία του Brocard , που δίνει την απόσταση ΚΟ συναρτήσει της γωνίας Brocard.

Πόρισμα-2 Κάθε equibrocardian τρίγωνο A₀B₀C₀ δοθέντος τριγώνου ABC είναι όμοιο προς κυκλοσεβιανό τρίγωνο A'B'C' του ABC ως προς σημείο P περιεχόμενο στον κύκλο του Brocard.

Το πόρισμα προκύπτει κατασκευάζοντας πρώτα σημείο P με ποδικό όμοιο του A₀B₀C₀ εγγεγραμμένο στο τρίγωνο ABC. Το P είναι ένας οδηγός εγγραφής του A₀B₀C₀ στο ABC. Προεκτείνοντας κατόπιν τις {PA, PB, PC} ευρίσκουμε με τις τομές τους με τον περίκυκλο το αντίστοιχο τρίγωνο A'B'C' που ικανοποιεί τις απαιτήσεις του πορίσματος.

Δείτε ακόμη

Αρμονική προοπτικότητα
Σημεία και γωνία του Brocard

Βιβλιογραφία

Lalesco, T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, pp. 48-55.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/