Brocard

1. Σημεία του Brocard

Θεώρησε τον προσανατολισμό του τριγώνου A->B->C και όρισε τρείς ευθείες {AX, BY, CZ} που σχηματίζουν την ίδια γωνία φ με τις πλευρές {AB, BC, CA} αντίστοιχα:
[1] Οι τομές τους {A',B',C'} ορίζουν τρίγωνο A'B'C' όμοιο με το ABC.
[2] Τα σημεία {A',B',C'} περιέχονται αντίστοιχα σε κύκλους {k_C, k_A, k_B} που διέρχονται από κοινό σημείο D.
[3] Ο κύκλος k_A διά του Α είναι εφαπτόμενος της BC στο Β, ο k_B διά του Β εφαπτόμενος της CA στο C, ο k_C διά του C εφαπτόμενος της ΑΒ στο Α.
Tό κοινό σημείο D των τριών κύκλων λέγεται το πρώτο σημείο του Brocard του τριγώνου.

Οι ιδιότητες προκύπτουν από τις γωνίες του A'B'C'. Στο B' η γωνία του είναι εξωτερική του τριγώνου AB'B, άρα το μέτρο της είναι (β-φ) + φ = β. Επομένως το B' βλέπει την ΑΒ υπό γωνία π-β και τα ανάλογα θα συμβαίνουν γιά τις άλλες γωνίες.

2. Γωνία ω του Brocard

Από τον ορισμό του τριγώνου A'B'C' προκύπτει ότι οι ευθείες {DA, DB, DC} σχηματίζουν την ίδια γωνία ω με τις πλευρές {AB, BC, CA} του τριγώνου αντίστοιχα. Η γωνία ω λέγεται γωνία Brocard του τριγώνου.

[1] Λόγω του εγγραψίμου στον κύκλο k_A τετραπλεύρου AB'DB η γωνία C'B'D ισούται με ω, άρα το όμοιο του ABC τρίγωνο A'B'C' έχει το D επίσης ως σημείο Brocard και την ίδια γωνία Brocard ω με το ABC.
[2] Γιά μιά ορισμένη γωνία (φ = π/2 + ω) το τρίγωνο A'B'C' γίνεται μέγιστο με τις πλευρές του παράλληλες προς τις διακέντρους των τριών κύκλων. Το ABC είναι ποδικό του A'B'C' ως προς το D, άρα, λόγω ομοιότητας με το αρχικό, συμπεραίνουμε ότι το ποδικό του σημείου Brocard είναι όμοιο με το αρχικό τρίγωνο.

3. Μέγεθος γωνίας ω του Brocard

Η γωνία Brocard ω έχει μέτρο που ικανοποιεί την εξίσωση
cot(ω) = cot(A) + cot(B) + cot(C).

Γιά την απόδειξη (κατά Johnson, δες βιβλιογραφία), θεώρησε το σημείο τομής F της BD με τον k_C. Ας είναι {Η, G} οι προβολές των {A,F} στην BC. Λόγω των γωνιών ω η AF είναι παράλληλος της BC. Από το ορθογώνιο τρίγωνο BGF, δεδομένου ότι AH = FG:
cot(ω) = BG/FG = (BH + HC + CG)/FG = (BH/AH) + (HC/AH) + (CG/FG)
και το συμπέρασμα προκύπτει από τις προφανείς:
BH/HA = cot(B), HC/HA = cot(C), CG/FG = cot(A).

Πόρισμα Η γωνία Brocard ω ικανοποιεί την
cot(ω) = (a² + b² + c²)/(4Δ),
όπου Δ το εμβαδόν του τριγώνου και {a,b,c} τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.
Η απόδειξη προκύπτει από την προηγούμενη και την έκφραση της συνεφαπτομένης συναρτήσει των κανόνων συνημιτόνου και ημιτόνου (συμβολίζοντας με R την ακτίνα του περικύκλου):
cot(A) = cos(A)/sin(A) = ((b²+c²-a²)/2bc)/(a/2R) = R(b²+c²-a²)/(abc) =>
cot(A) + cot(B) + cot(C) = R(a² + b² + c²)/(abc).
Όμως ισχύει και
(abc)/R = 4Δ,
αφού 2Δ = absin(C) = abc/(2R).

4. To δεύτερο σημείο του Brocard

Το δεύτερο σημείο του Brocard προκύπτει με τον ίδιο τρόπο που προκύπτει και το πρώτο αλλά παίρνοντας τον άλλο προσανατολισμό του τριγώνου ABC. Συγκεκριμένα τον A -> C -> B και ευθείες {AX, BY, CZ} έτσι ώστε οι γωνίες αυτών των ευθειών με τις {AC, BA, CB} να είναι ίσες με φ.

Και πάλι ισχύουν τα ανάλογα με τα προηγούμενα. Τα σημεία τομής των τριών ευθειών σχηματίζουν τρίγωνο A'B'C' όμοιο του ABC και του οποίου οι κορυφές κινούνται επί τριών κύκλων διερχομένων διά του αυτού σημείου D'. Το D' λέγεται δεύτερο σημείο του Brocard και λαμβάνεται γιά μιά ορισμένη τιμή ω' της φ. Ο υπολογισμός της ω' γίνεται όπως ακριβώς και της ω και αποδεικνύεται ότι και η ω' ικανοποιεί τον τύπο της προηγουμένης παραγράφου, άρα οι δύο γωνίες είναι ίσες.

5. Ισογώνια συζυγία σημείων του Brocard

Από την ισότητα των ω, ω' προκύπτει αμέσως ότι τα δύο σημεία Brocard του τριγώνου είναι ισογώνια συζυγή. Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές τριγώνου με αυτά είναι ίσα κεκλιμένες προς τις πλευρές του τριγώνου.

6. Κυκλοσεβιανό ως προς σημείο του Brocard

Το κυκλοσεβιανό τρίγωνο A'B'C' δοθέντος τριγώνου ABC ως προς σημείο D προκύπτει από τις τομές των σεβιανών {DA, DB, DC} με τον περίκυκλο του ABC (δες Κυκλοσεβιανό τρίγωνο ). Το A'B'C' αποδεικνύεται όμοιο με το ποδικό του D ως προς το τρίγωνο. Στην περίπτωση του σημείου Brocard το ποδικό του D (δες (2)) είναι όμοιο του αρχικού τριγώνου ABC. Επειδή ο περιγεγραμμένος κύκλος είναι ο ίδιος με του ABC, έπεται ότι το κυκλοσεβιανό του σημείου Brocard είναι τρίγωνο ίσο με το αρχικό.

Από την ισότητα των γωνιών του σχήματος και την διαφορά των προσανατολισμών τους προκύπτει ότι το πρώτο σημείο του Brocard D του τριγώνου ABC συμπίπτει με το δεύτερο σημείο του Brocard του τριγώνου A'B'C'. Κατά συνέπεια:
[1] Τα δύο σημεία του Brocard {D, D'} του τριγώνου ABC ισαπέχουν από το κέντρο Ο του περικύκλου του.
[2] Η επίκεντρη γωνία (DOD') των δύο σημείων ισούται με την γωνία στροφής του A'B'C' στο ABC που είναι 2ω, όπου ω η γωνία Brocard του τριγώνου ABC.

Από τις εγγεγραμμένες γωνίες προκύπτουν άμεσα και οι ιδιότητες:
[3] Τα τρίγωνα που σχηματίζονται γύρω από το D: {AA'D, A'BD, DBB', κτλ.} είναι όλα όμοια προς το ABC.
[4] Τα τμήματα {AA', BB', CC'} έχουν τό ίδιο μήκος 2Rsin(ω), όπου R η ακτίνα του περικύκλου.
[5] Από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει η δύναμις του D ως προς τον κύκλο: {AA'D, DB'B}: (AD/BB') = (AA'/DB') => AD*DB' = (2Rsin(ω))². Άρα:
DO² = R²(1-4sin²(ω)).

7. Ο κύκλος του Brocard

Τα δύο σημεία {D, D'} του Brocard περιέχονται στον κύκλο με διάμετρο ΟΚ, όπου K το συμμετροδιάμεσο σημείο του τριγώνου ABC και μάλιστα είναι συμμετρικά ως προς αυτήν. Ο κύκλος αυτός λέγεται κύκλος του Brocard του τριγώνου.

Γιά κάθε τρίγωνο ABC και το κυκλοσεβιανό του A'B'C' ως προς σημείο D, η ευθεία που συνδέει τα συμμετροδιάμεσα σημεία {K, K'} των δύο τριγώνων διέρχεται από το σημείο D (δες Κυκλοσεβιανό τρίγωνο ). Στην περίπτωση που το D είναι σημείο του Brocard, το κυκλοσεβιανό A'B'C' περιστρεφόμενο κατά γωνία 2ω συμπίπτει με το ABC. Άρα το τρίγωνο ΟΚΚ' είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 2ω.
Χρησιμοποιώ τώρα την αρμονική προοπτικότητα F που ορίζεται από το σημείο D και την πολική του L_D ως προς τον κύκλο. Η απεικόνιση αυτή αφήνει το D και κάθε σημείο της L_D σταθερό και έχει F(A)=B', F(B)=C', F(C)=A'. Επίσης, επειδή η F διατηρεί τα συμμετροδιάμεσα σημεία, απεικονίζει το K στο Κ'. Λόγω του ότι, στην παρούσα περίπτωση, το ΟΚ = ΟΚ' και Κ' = F(K) έπεται ότι το D είναι το μέσον της KK' και λόγω του ισοσκελούς η γωνία KDO είναι ορθή. Από αυτό έπονται οι αναφερόμενες ιδιότητες.

Πόρισμα
[1] Η απόσταση KO του συμμετροδιαμέσου σημείου από το περίκεντρο ικανοποιεί την σχέση:
KO² = R²(1-4sin²(ω))/cos²(ω).
[2] Η γωνία Brocard είναι μικρότερη ή ίση του π/6, και ίση με π/6 μόνο γιά το ισόπλευρο τρίγωνο.

Η απόδειξη του [1] προκύπτει από τον τελευταίο τύπο της προηγουμένης παραγράφου.
Η απόδειξη του [2] προκύπτει από τον τύπο [1] που συνεπάγεται ότι:

Δείτε ακόμη

Κυκλοσεβιανό τρίγωνο
Αρμονική προοπτικότητα
Συμμετροδιάμεσο σημείο

Βιβλιογραφία

Gallatly William The modern geometry of the triangle London, Francis Hodgson 1916, pp.130-152.
Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, pp. 99-124.
Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929, pp. 263-312.
Lalesco, Trajan La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, pp. 48-55.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/