Έστω τρίγωνο ABC και Κ το συμμετροδιάμεσο σημείο του. Ο κύκλος με διάμετρο OK, όπου O το περίκεντρο του ABC λέγεται κύκλος του Brocard του τριγώνου (δες Σημεία και γωνία του Brocard ).
Τα δεύτερα σημεία τομής των συμμετροδιαμέσων {AK, BK, CK} σχηματίζουν τρίγωνο HEG ονομαζόμενο δεύτερο τρίγωνο του Brocard του τριγώνου ABC.
Μερικές ιδιότητες του τριγώνου αυτού είναι οι εξής :
[1] Η συμμετροδιάμεσος ευθεία διά του B διέρχεται από το κοινό σημείο D των εφαπτομένων στα A και C του περικύκλου (c).
[2] Το σημείο E είναι το κοινό σημείο της συμμετροδιαμέσου AK, του κύκλου του Brocard με διάμετρο OK και του κύκλου (ADC).
[3] Το σημείο E είναι το μέσον της χορδής AF του περικύκλου που ορίζεται από την συμμετροδιάμεσο από το Α.
[4] η γωνία(AEC) = 2*γωνία(B) και η συμμετροδιάμεσος BE είναι διχοτόμος της γωνίας (AEC).
[5] Τα τρίγωνα BEA και CEB είναι όμοια.
Έστω (d) ο κύκλος διά των σημείων A, C, D. Προβάλλοντας στις πλευρές και μετρώντας τον λόγο DDC/DDB βρίσκουμε ότι ισούται με AB/BC, άρα το D είναι στην συμμετροδιάμεσο ευθεία AK.
Ο περίκυκλος (d) του ACD διέρχεται από το O, και τέμνει τον κύκλο του Brocard σε σημείο που βλέπει την KO υπό ορθή γωνία, άρα συμπίπτει με το σημείο E.
Επειδή η OE είναι κάθετη στην χορδή BF, το E είναι το μέσον της. Αυτά τα επιχειρήματα αποδεικνύουν τα [1, 2, 3]. Το [4] είναι εύκολη συνέπεια των προηγουμένων, λαμβάνοντας υπόψη και το κυκλικό τετράπλευρο AECD.
Γιά το [5] σημείωσε την ισότητα γωνιών στο E και ότι γων(BAE) = γων(A)-γων(EAC). Αλλά από το τρίγωνο BCD γων(EBC) = γων(DCDB)-γων(EDC) = γων(A) - γων(EAC).
Οι κορυφές του δεύτερου τριγώνου του Brocard είναι οι εστίες των παραβολών του Artzt του τριγώνου (και των δύο ειδών: πρώτου και δευτέρου) του τριγώνου ABC.
Γιά την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού χρησιμοποιούμε τον χαρακτηρισμό του E:
[1] να περιέχεται στην συμμετροδιάμεσο και
[2] να διχοτομεί την γωνία AEC (δες Παραβολές του Artzt ).
Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929, p. 277.
Lalesco, Trajan. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 62.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Δεύτερο τρίγωνο του Brocard ![[0_0]](BrocardSecond_files/BrocardSecond_0_0_0.png)
![[0_1]](BrocardSecond_files/BrocardSecond_0_0_1.png)
![[1_0]](BrocardSecond_files/BrocardSecond_0_1_0.png)
![[1_1]](BrocardSecond_files/BrocardSecond_0_1_1.png)
![[2_0]](BrocardSecond_files/BrocardSecond_0_2_0.png)
![[2_1]](BrocardSecond_files/BrocardSecond_0_2_1.png)