Λέμε ότι τα σημεία {H, G} είναι αρμονικά συζυγή των {A, B}, όταν και τα τέσσαρα σημεία περιέχονται σε μία ευθεία και οι λόγοι (HA/HB) = - (GA/GB), δηλαδή τα {G, H} διαιρούν το ευθύγραμμο τμήμα AB στον ίδιο λόγο εσωτερικά και εξωτερικά.
Την παράσταση (HA/HB):(GA/GB)=-1 ονομάζουμε διπλό λόγο και γράφουμε σύντομα (A,B,H,G)=-1.
Τέσσαρα σημεία {A,B,H,G} που ικανοποιούν την προηγούμενη εξίσωση (A,B,H,G)=-1, λέμε ότι ορίζουν μιάν αρμονική διαίρεση.
The basic παράδειγμα αρμονικής διαίρεσης περιέχεται στην επόμενη εικόνα. Η πρώτη εξίσωση προκύπτει από το θεώρημα του Μενελάου (δες Θεώρημα Μενελάου ) στο τρίγωνο ABC και την τέμνουσα ευθεία [GEF]. Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από το θεώρημα του Ceva εφαρμόζοντάς το στο ίδιο τρίγωνο και το σημείο D.
[1] Θεώρημα Μενελάου στο ABC και τέμνουσα ευθεία την [GEF]: (GA/GB)(FC/FB)(EA/EC)=1,
[2] Θεώρημα του Ceva στο ABC και το σημείο D (δες Θεώρημα του Ceva ): (AH/HB)(BF/FC)(EC/EA)=-1.
Πολλαπλασιάζοντας τις δύο εξισώσεις:
(GA/GB)(AH/HB)=-1, δηλαδή τα {G, H} είναι αρμονικά συζυγήharmonic conjugate] ως προς τα {A, B}.
Πόρισμα Για σταθερό H και D κινούμενο επί της ευθείας [CH] όλες οι αντίστοιχες ευθείες [GEF] διέρχονται από σταθερό σημείο G, το αρμονικό συζυγές του H, ως προς τα {A, B}.
Παρατήρηση Η σχέση αρμονικής συζυγίας είναι συμμετρική. Τα {G, K} είναι επίσης αρμονικά συζυγή των {E, F}.
Πράγματι, τα ίδια επιχειρήματα εφαρμόζονται στο τρίγωνο CEF, και τέμνουσα [GAB] (Μενέλαος) καθώς και τρίγωνο CEF και σημείο D (Ceva). Έτσι έχουμε επίσης (E,F,G,K) = -1.
Υπάρχει ωστόσο και άλλος (απλούστερος) λόγος, γιά τον οποίο τα {G, K} είναι αρμονικά συζυγή των {E, F} και τούτος είναι η συμμετρία της παράστασης (HA/HB):(GA/GB) που γράφεται και (ΑΗ/AG):(BH/BG).
[1] Έστω ότι {a, b, h, g} είναι οι συντεταγμένες των σημείων {A, B, H, G} μιάς ευθείας. Ισχύει:
HA/HB = - GA/GB => HA*GB + GA*HB = 0 => (a-h)(b-g)+(a-g)(b-h) = 0 => 2(ab+gh) = (a+b)(g+h).
[2] Παίρνοντας το Α ως αρχή των συντεταγμένων (a=0) =>
2gh = b(g+h), δηλαδή 2/AB = (1/AG) + (1/AH), δηλαδή το AB είναι ο αρμονικός μέσος των AG και AH.
[4] Παίρνοντας το μέσον I/J του AB/GH ως αρχή των συντεταγμένων (a+b=0, αντίστοιχα g+h=0) παίρνουμε τις σχέσεις του Newton:
IA² = IB² = IG*IH, JH² = JG² = JA*JB.
[5] Η σχέση [2] συνεπάγεται:
2AH*AG = AB(AH+AG) = AB*(2AJ) => AH*AG = AB*AJ.
[6] Οι σχέσεις στην [3] συνεπάγονται:
JA/JH = JH/JB = (JH-JA)/(JB-JH) = AH/BH, και JA/JG = JG/JB = (JA-JG)/(JG-JB) = GA/GB.
Άρα JA/JB = (JA/JH)*(JH/JB) = (GA/GB)². Δηλαδή εάν τα G και H διαιρούν το AB σε λόγο k, τότε το μέσον J του GH διαιρεί το AB σε λόγο k².
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Αρμονική διαίρεση ευθείας ![[0_0]](Harmonic_files/Harmonic_0_0_0.png)
![[0_1]](Harmonic_files/Harmonic_0_0_1.png)