Complex_Cross

1. Διπλός λόγος μιγαδικός

Ο μιγαδικός διπλός λόγος τεσσάρων σημείων του (μιγαδικού) επιπέδου ορίζεται να είναι ο μιγαδικός αριθμός:
(ABCD) = ((A-C)/(B-C))/((A-D)/(B-D)),
όπου τα σημεία ταυτίζονται με αντίστοιχους μιγαδικούς αριθμούς.

[1] Το (ABCD) είναι πραγματικό τότε και μόνον όταν είναι σε κύκλο ή ευθεία.
[2] Υποθέτοντας ότι τα σημεία είναι πάνω σε κύκλο, θεώρησε την προβολή τους σε ευθεία (e), από σημείο X του κύκλου. Έστω ότι A', B', C', D' είναι οι αντίστοιχες προβολές. Τότε (ABCD) = (A'B'C'D').

Όπου (ACB), (ADB) είναι τα μέτρα των προσανατολισμένων γωνιών. Το πηλίκον αυτό είναι πραγματικό τότε και μόνον όταν οι γωνίες είναι ίσες ή συμπληρωματικές και αντίθετα προσανατολισμένες, πράγμα που δείχνει το [1].
Ο δεύτερος ισχυρισμός απόδεικνύεται στο [3] του Διπλός λόγος .

2. Παρατηρήσεις

[1] Ο διπλός λόγος τεσσάρων σημείων πάνω σε κύκλο γενικεύεται στον διπλό λόγο τεσσάρων σημείων πάνω σε κωνική. Στην περίπτωση του κύκλου ο διπλός λόγος εκφράζεται με τους μιγαδικούς που παριστάνουν τα σημεία. Τούτο δεν συμβαίνει με την γενίκευση, που χρησιμοποιεί την ιδιότητα [2] της προηγουμένης παραγράφου.
[2] Ο διπλός λόγος τεσσάρων σημείων εφαπτομενικών κωνικών μεταφέρει την ιδέα του διπλού λόγου σε τετράδες εφαπτομένων μιάς κωνικής. Τούτο εξετάζεται στο Διπλός λόγος τεσσάρων εφαπτομένων .
[3] Αρμονικά τετράπλευρα ορίζονται από τέσσερα σημεία κύκλου που σχηματίζουν αρμονική διαίρεση, δηλαδή ικανοποιούν την συνθήκη (A,B,C,D) = -1. Αυτό το θέμα εξετάζεται στο Αρμονικό τετράπλευρο .

Δείτε ακόμη

Αρμονικό τετράπλευρο
Διπλός λόγος
Διπλός λόγος τεσσάρων εφαπτομένων

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/