HarmonicQuad

1. Αρμονικό τετράπλευρο

Ένα κυκλικό τετράπλευρο ABCD λέγεται αρμονικό όταν η τέταρτη κορυφή του D είναι το τέταρτο αρμονικό σημείο των άλλων τριών {A, B, C}, δηλαδή, ταυτίζοντας τα σημεία με μιγαδικούς αριθμούς, ο διπλός λόγος (ABCD)=-1 (δες Διπλός λόγος μιγαδικών ).
Οι επόμενες ιδιότητες είναι χαρακτηριστικές των αρμονικών τετραπλεύρων.
[1] Ο πόλος κάθε διαγωνίου {U = (AB), V = (CD)} περιέχεται αντίστοιχα στην άλλη διαγώνιο {CD, AB}.
[2] Γιά κάθε αρμονικό τετράπλευρο, το D ορίζεται ως τομή του περικύκλου με την ευθεία που ενώνει το απέναντι σημείο C με τον πόλο U = (AB) της διαγωνίου AB ως προς τον περίκυκλο.
[3] Έστω Μ η προβολη του περικέντρου O στην διαγώνιο AB. Τα τρίγωνα AMD, CBD και CMA είναι όμοια. Ακριβέστερα η ομοιότητα δύο εκ των τριών συνεπάγεται την ομοιότητα και των τριών.
[4] Δυο απέναντι κορυφές, οι {A,B} λ.χ., είναι αντίστροφες ως προς τον κύκλο k_CD που διέρχεται από τις άλλες δύο κορυφές {C, D} και είναι ορθογώνιος στον περίκυκλο.
[5] Γιά αρμονικά τετράπλευρα ο κύκλος k_CD που διέρχεται από δύο απέναντι κορυφές {C,D} και είναι ορθογώνιος στον περίκυκλο είναι ένας Απολλώνιος κυκλος των τριγώνων ABC και ABD.
[6] Σε ένα αρμονικό τετράπλευρο τα γινόμενα των μηκών των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Θεώρησε την πολική (n) του σημείου τομής Ν των διαγωνίων {AB, CD}. Από γενικές ιδιότητες των κυκλικών τετραπλεύρων γνωρίζουμε ότι (α) τα σημεία τομής {E, F} των απέναντι πλευρών και (β) οι πόλοι των διαγωνίων του είναι τέσσαρα σημεία της ευθείας (n). Γιά να δείξουμε ότι μία διαγώνιος, λ.χ. η CD, διέρχεται από τον πόλο U της άλλης διαγωνίου χρησιμοποιούμε την αρμονικότητα.
Πράγματι, η ιδιότητα αρμονικότητας είναι ισοδύναμη με το ότι η εφαπτόμενη t_A στο Α και οι τρεις ευθείες {AD, AC, AN} σχηματίζουν αρμονική δέσμη (AD, AC, AN, t_A) = -1. Τούτο συνεπάγεται ότι το σημείο τομής U' της t_a και της DC είναι αρμονικό συζυγές του N ως προς {D,C}. Τούτο ταυτίζει το U' με το U και δείχνει το [1]. Το επιχείρημα αντιστρέφεται και δίνει την ισοδυναμία του [1] με την αρμονικότητα. Το [2] είναι συνέπεια του [1].
Έστω τώρα M το σημείο τομής της διαγωνίου AB με την UO. Επειδή η γωνία UMN είναι ορθφή και τα {C,D} είναι αρμονικά συζυγή ως προς {U,N}, η ευθεία MN είναι η διχοτόμος της γωνίας DMC. Παίρνοντας τα συμμετρικά D* του D και C* του C ως προς την ευθεία (διχοτόμο) UM, βλέπουμε ότι γωνία(ADM) = γωνία(CAB), επειδή τα τόξα CB και AC* είναι ίσα. Αυτή η ισότητα οδηγεί στην απόδειξη των ισχυρισμών στο [3].
Το [4] έπεται από το [1]. Πράγματι, αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό τότε ο κύκλος (V, VD) είναι ορθογώνιος προς τον περίκυκλο και τα σημεία {A,B} είναι αντίστροφα ως προς αυτόν τον κύκλο. Και αντίστροφα, εάν συμβαίνει αυτό, τότε η CD είναι η πολική του V και η χρήση του [1] συμπληρώνει το επιχείρημα γιά την απόδειξη.
Το [5] είναι ισοδύναμο του [4] και το [6] ισοδύναμο του [5], αφού σε αυτήν την περίπτωση τα {C, D}, όντας στον ίδιο Απολλώνιο κύκλο θα ικανοποιούν AC/CB = AD/DB.

Παρατήρηση Σημείωσε ότι η AB είναι μιά συμμετροδιάμεσος ευθεία του τριγώνου ACD. Αυτό έπεται από την ομοιότητα των τριγώνων ACM, ADM, που συνεπάγεται ότι οι αποστάσεις του M από τις πλευρές AC, AD είναι ανάλογες των μηκών αυτών των πλευρών. Αυτή είναι μιά χαρακτηριστική ιδιότητα των συμμετροδιαμέσων. Συνεπώς οι διαγώνιοι του αρμονικού τετραπλεύρου συμπίπτουν με τις συμμετροδιαμέσους ορισμένων "μερικών" τριγώνων, όπως τα ACD, ADB κτλ. (σχηματίζονται παραλείποντας μιά από τις τέσσερις κορυφές).

2. Αρμονικά τετράπλευρα και μετασχηματισμοί

[1] Μετασχηματισμοί Moebius (F) που απεικονίζουν κύκλο (c) σε άλλο κύκλο (c') απεικονίζουν και κάθε αρμονικό τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον (c) σε αρμονικό τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον (c').
[2] Αντιστροφές (F) που απεικονίζουν κύκλο (c) σε άλλο κύκλο (c') απεικονίζουν και κάθε αρμονικό τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον (c) σε αρμονικό τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον (c').

Βέβαια οι μετασχηματισμοί αυτοί δεν απεικονίζουν εν γένει ευθείες σε ευθείες. Η αντιστοίχιση πρέπει να νοηθεί μόνον μεταξύ των κορυφών των δύο τετραπλεύρων. Δηλαδή, αν A₀B₀C₀D₀ είναι το πρώτο τετράπλευρο, τότε εφαρμόζοντας την F στις κορυφές του παίρνουμε ένα άλλο τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία {A=F(A₀), B=F(B₀), C=F(C₀), D=F(D₀)} και ο ισχυρισμός είναι ότι αν το A₀B₀C₀D₀ είναι αρμονικό τότε και το ABCD είναι αρμονικό.

Η απόδειξη είναι άμεση συνέπεια του ορισμού, τουλάχιστον γιά την περίπτωση του μετασχηματισμού Moebius. Τούτο διότι οι μετασχηματισμοί αυτοί διατηρούν τον διπλό-λόγο και έτσι (ABCD) = (A₀B₀C₀D₀) = -1. Το συμπέρασμα γιά τις αντιστροφές μπορεί να αναχθεί στο προηγούμενο διότι κάθε αντιστροφή γράφεται σαν γινόμενο μιάς απεικόνισης Moebius και μιάς ανάκλασης.

3. Αρμονικά τετράπλευρα και τετράγωνα

[1] Κάθε αρμονικό τετράπλευρο είναι εικόνα (με την έννοια που αναλύεται παραπάνω) ενός τετραγώνου μέσω ενός μετασχηματισμού Moebius.
[2] Δοθέντος σημείου P φέρε τις ευθείες που το ενώνουν με τις κορυφές τετραγώνου. Τα δεύτερα σημεία τομής αυτών των ευθειών με τον περίκυκλο είναι κορυφές αρμονικού τετραπλεύρου.

Γιά το [1] η απόδειξη προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο και την ιδιότητα ενός μετασχηματισμού Moebius να ορίζεται μονοσήμαντα από τρία σημεία και τις εικόνες τους. Έτσι δοθέντος αρμονικού τετραπλεύρου ABCD υπάρχει ένας ακριβώς μετασχηματισμός Moebius F, που απεικονίζει τις τρεις κορυφές {A₀, B₀, C₀} ενός τετραγώνου A₀B₀C₀D₀ σε τρεις αντίστοιχες κορυφές {A, B, C} του αρμονικού τετραπλεύρου. Επειδή το τετράγωνο είναι αρμονικό τετράπλευρο η τέταρτη κορυφή του D₀ θα απεικονίζεται σε σημείο D' = F(D₀). Επειδή θα ισχύει (ABCD') = (ABCD) = -1, τα σημεία D και D' θα ταυτίζονται.
Το δεύτερο προκύπτει εφαρμόζοντας αντιστροφή G (ή αντί-αντιστροφή, εάν το P είναι στο εσωτερικό του περικύκλου του τετραγώνου) γιά την οποία τα {A, B, C, D} προκύπτουν ως αντίστροφα των κορυφών του τετραγώνου. Η αντιστροφή G γίνεται ως προς κύκλον ορθογώνιο στον περίκυκλο του τετραγώνου και με κέντρο στο P. Τα υπόλοιπα προκύπτουν απο τα συμπεράσματα της προηγουμένης παραγράφου.

Δείτε ακόμη

Απολλώνιοι κύκλοι
Αντιστροφή
Αρμονική διαίρεση
Αρμονική δέσμη ευθειών
Διπλός λόγος
Διπλός λόγος μιγαδικών
Κυκλικό τετράπλευρο
Κυκλικό τετράπλευρο προβολικά
Μετασχηματισμοί Moebius

Βιβλιογραφία

Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929, p. 301.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/