Conics_Enveloping

1. Κωνικές περιβάλλουσες ευθειών

Έστω c σταθερός κύκλος, F σταθερό σημείο μή κείμενο επί του κύκλου, και ω = (CDE) σταθερή γωνία. Έστω G κινούμενο σημείο επί του κύκλου και H σημείο διαιρόν το FG σε μέρη σταθερού λόγου k. Κατασκεύασε γωνία ω' = (FHI) ίση της (CDE). Ισχύει ότι:
[1] Η περιβάλλουσα της HI είναι μιά κωνική με μία εστία στο F.
[2] H κωνική είναι υπερβολή όταν το F είναι εκτός και έλλειψη όταν είναι εντός του κύκλου.
[3] Οι κωνικές που προκύπτουν παίρνοντας διαφορετικές γωνίες CDE ή/και διαφορετικές θέσεις του Η επί της FG είναι όμοιες μεταξύ τους.
[4] Οι υπερβολές προκύπτουν μέσω ομοιοτήτων κέντρου F από την υπερβολή με εστίες στα {F,F'} και διερχόμενη από τα αντιδιαμετρικά σημεία {Α,Β} του κύκλου (δηλαδή με βοηθητικό κύκλο c). Το F' είναι το συμμετρικό του F ως προς τον κύκλο και η ΑΒ είναι η διάμετρος επί της οποίας τα {F,F'}. Η γωνία των ασυμπτώτων της υπερβολής ισούται με την γωνία των εφαπτομένων του κύκλου από το F.
[5] Oι ελλείψεις προκύπτουν ανάλογα μέσω ομοιοτήτων κέντρου F από την έλλειψη με εστίες στα {F,F'} και διερχόμενη από τα αντιδιαμετρικά σημεία {Α,Β} του κύκλου. Και πάλι το F' είναι το συμμετρικό του F ως προς τον κύκλο και η ΑΒ είναι η διάμετρος επί της οποίας τα {F,F'}.

Οι ιδιότητες αυτές στηρίζονται στην βασική ιδιότητα των κωνικών σύμφωνα με την οποία, οι προβολές των εστιών τους πάνω στις εφαπτόμενες περιέχονται σε κύκλο (ευθεία γιά την παραβολή). Ο κύκλος αυτός είναι ο βοηθητικός κύκλος της κωνικής (η εφαπτόμενη στην κορυφή της γιά την παραβολή).

Το προηγούμενο σχήμα δείχνει την περίπτωση που αντιστοιχεί σε γωνία ω=π/2 και το Η συμπίπτει με το κινούμενο σημείο G του κύκλου. Η ευθεία t_G κάθετος της FG στο G εφάπτεται της κωνικής με εστίες {F,F'} και βοηθητικό κύκλο τον c. Μάλιστα το σημείο επαφής είναι το αρμονικό συζυγές του Ε ως προς τις προβολές {G, G'} των εστιών πάνω στην t_G.
Αν αντί της ορθής γωνίας στο G πάρουμε μιά αυθαίρετη (αλλά σταθερή) γωνία ω και προβάλλουμε σε αυτήν το F δημιουργείται ένα τρίγωνο FGR με σταθερές γωνίες άρα και λόγο k=FG/FR. Επομένως ο τόπος του R είναι ο κύκλος c' που προκύπτει εφαρμόζοντας στον c την ομοιότητα S(F,π/2-ω,k) με κέντρο F, γωνία ω και λόγο k.
Αυτό ανάγει την περίπτωση της αυθαίρετης ω στην περίπτωση της ορθής, όμως γιά τον κύκλο c'.
O συλλογισμός αυτός αποδεικνύει το [4] γιά κάθε γωνία ω και Η ταυτιζόμενο με το G. Στην γενικώτερη περίπτωση που το Η δεν ταυτίζεται με το G αλλά ευρίσκεται σε σημείο Η έτσι ώστε FG/FH=r εφαρμόζουμε μία ομοιοθεσία με λόγο r και κέντρο F και ανάγουμε την περίπτωση στην προηγούμενη.
Αυτά αποδεικνύουν πλήρως το [4] στην περίπτωση της υπερβολής. Στην περίπτωση της έλλειψης τα επιχειρήματα είναι παρόμοια. Οι υπόλοιποι ισχυρισμοί προκύπτουν ως συνέπειες των [4] και [5].

2. Η περίπτωση της παραβολής

Μιά παραβολή μπορεί να παραχθεί με τρόπο ανάλογο του προηγουμένου, αντικαθιστώντας τον κύκλο με ευθεία c. Δοθέντος σημείου F εκτός της ευθείας και σημείου G κινουμένου επί της ευθείας σχηματίζουμε γωνία FGX ίση με δοθείσα σταθερά γωνία ω. Τότε οι ευθείες GX περιβάλλουν μιά παραβολή με εστία στο F και άξονα κεκλιμένο ως προς την ευθεία κατά γωνία π/2-ω.

Η απόδειξη μπορεί να γίνει ανάλογα με την προηγούμενη. Όταν η γωνία FGX είναι ορθή, τότε έχουμε την γνωστή ιδιότητα της παραβολής, κατά την οποία η GX είναι περιβάλλουσα παραβολής με εστία στο F και κορυφή στην προβολή Ε του F επί της ευθείας c.
Όταν η γωνία ω δεν είναι ορθή τότε, προβάλλοντας το F στην GX στο σημείο Ρ, δημιουργούμε το τρίγωνο με σταθερές γωνίες FPG. Τότε ο λόγος FP/FG = s είναι σταθερός και το πρόβλημα ανάγεται στο προηγούμενο μέσω της ομοιότητας S(F, π/2-ω, s) με κέντρο το F, γωνία στροφής π/2-ω και λόγο s.
Ο τρόπος αυτός παραγωγής της παραβολής αναφέρεται ως τρόπος του Newton.

Δείτε ακόμη

Έλλειψη
Υπερβολή
Παραβολή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/