Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα B1B2 και σημείο A κινούμενο επί καμπύλης c. Επί των {AB1, AB2} όρισε αντίστοιχα σημεία {C1, C2} έτσι ώστε οι λόγοι {AC1/C1B1 = r1, AC2/C2B2 = r2} να έχουν σταθερές δεδομένες τιμές. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: [1] Το σημείο τομής C των ευθειών B1B2, C1C2 είναι σταθερό. [2] Όρισε το σημείο D επί της C1C2 έτσι ώστε C1D/DC2 = r3 να είναι δεδομένη σταθερά. Τότε το σημείο τομής E της AD και B1B2 είναι σταθερό. [3] Ο λόγος r4 = AD/DE είναι επίσης σταθερός.
[1] Εφάρμοσε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο AB1B2 και την ευθεία CC1C2. [2] Εφάρμοσε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο AC1C2 και την ευθεία CB1B2. Έπεται ότι ο λόγος CC1/CC2 = r5 είναι σταθερός. Άρα, ο διπλός λόγος (C,D,C1,C2) είναι σταθερός. Τούτος όμως είναι ίσος με τον (C,E,B1,B2), που συνεπάγεται ότι το E είναι σταθερό σημείο. [3] Εφάρμοσε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο CB2C2 και την ευθεία ADE.
Παρατήρηση Στην πραγματικότητα η καμπύλη c (μιά καμπύλη Bezier) δεν είναι πολύ απαραίτητη. Την αφήνω όμως έτσι γιατί μου αρέσει το σχήμα της.
Πρόβλημα Έκφρασε τους διάφορους λόγους και διπλούς λόγους συναρτήσει των λόγων r1, r2 and r3.
Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1967, p. 66.
Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, p. 147.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Μενέλαος εις τριπλούν ![[0_0]](Menelaus3_files/Menelaus3_0_0_0.png)
![[0_1]](Menelaus3_files/Menelaus3_0_0_1.png)
![[0_2]](Menelaus3_files/Menelaus3_0_0_2.png)
![[0_3]](Menelaus3_files/Menelaus3_0_0_3.png)