NewtonLineProperty

1. Δύο ιδιότητες του πλήρους τετραπλεύρου

Έστω p = ABCD ένα πλήρες τετράπλευρο και {E, F, G} τα διαγώνια σημεία του. Έστω και q = HIKL το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία τομής των διαγωνίων με τις πλευρές του ABCD.
[1] Η διαγώνιος GH τέμνει την παράλληλο DN από το D προς την πλευρά HI του q στο μέσον M της ND.
[2] Η πλευρά HJ του q τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα MN στο μέσον του O.

[1] Ο λόγος MN/MD = 1, διότι κατά το θεώρημα του Μενελάου εφαρμοζομένου στο τρίγωνο AND με τέμνουσα ευθεία την HMG:
(HN/HA)*(MD/MN)*(GA/GD)=1. Όμως HN/HA=ID/IA=GD/GA.
[2] Επίσης ON/OM = 1, διότι η δέσμη H(J,I,E,F) είναι αρμονική. Άρα η παράλληλος NM προς την ευθεία HI της δέσμης, χωρίζεται από τις άλλες δύο ευθείες της δέσμης σε δύο ίσα μέρη.

2. Μιά ιδιότητα της ευθείας Newton

Έστω p = ABCD πλήρες τετράπλευρο, {E, F, G} τα διαγώνια σημεία του και q = HIKL το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία τομής των διαγωνίων με τις πλευρές του ABCD.
Θεώρησε τα μέσα {P, S, R} των διαγωνίων του τετραπλεύρου, που είναι συγγραμμικά σημεία περιεχόμενα στην ευθεία Newton line του τετραπλεύρου.
[1] Οι διάμεσοι {AA₁, BB₁, CC₁, DD₁} των αντιστοίχων τριγώνων {AHI, BJH, CKJ, DIK} συντρέχουν σε σημείο S της ευθείας Newton.
[2] Το S είναι το αρμονικό συζυγές του μέσου (R) της διαγωνίου ως προς τα δύο άλλα μέσα (P, Q).

[1] Ξεκίνα από το σημείο τομής T της διαγωνίου EF με την ευθεία AR. Φέρε από το T την ευθεία TV παράλληλη της πλευράς AB και τέμνουσα την πλευρά CD στο U. Επειδή η δέσμη ευθειών F(V,T,U,A) είναι αρμονική και η ευθεία TV είναι παράλληλη της FA το U θα είναι το μέσον της TV.
[2] Επειδή η δέσμη ευθειών D(A,W,T,R) είναι αρμονική και το R είναι το μέσον της FG, η ευθεία DT είναι παράλληλος της FG.
[3] Έπεται από τα [1,2] ότι το DTFV είναι παραλληλόγραμμο. Άρα το U είναι μέσον της DF, άρα η αρχική παράλληλος TV προς την ευθεία AB περνά από τα μέσα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων με ένα άκρο στο D και το άλλο άκρο επί της ευθείας AB. Μεταξύ αυτών περνά από τα μέσα των τμημάτων {DA, DN, DB}, το τελευταίο όντας το P: το μέσον της διαγωνίου DB.
[4] Προέκτεινε την διάμεσο AA₁ του τριγώνου AHI έως ότου τμήσει την ευθεία Newton στο S. Η δέσμη ευθειών A(P,Q,S,R) είναι αρμονική. Πράγματι, η δέσμη έχει τα ίδια ίχνη επί της ευθείας TV με την αρμονική δέσμη E(P,A,M,T). Έτσι το S είναι το αρμονικό συζυγές του R ως προς τα {P,Q}.

Γιά μιά άλλη απόδειξη αυτής της ιδιότητας, που κάνει χρήση προβολικών συντεταγμένων δες το Νewton ευθείας ιδιότητα (ΙΙ) .

Δείτε ακόμη

Αρμονική δέσμη
Ευθεία Νewton τετραπλεύρου
Νewton ευθείας ιδιότητα (ΙΙ)

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/