NewtonLineProperty2

Τετραπλεύρου ιδιότητα

Έστω ABCD πλήρες τετράπλευρο, {E, G, H} τα σημεία τομής των διαγωνίων του και IJKL το τετράπλευρο που σχηματίζεται από τις τομές των διαγωνίων του με τις πλευρές του. Έστω ότι {A₁, B₁, C₁, D₁} είναι τα μέσα των πλευρών του IJKL απέναντι αντιστοίχως των {A, B, C, D}. Τότε οι ευθείες {AA₁, BB₁, CC₁, DD₁} συντρέχουν σε ένα κοινό σημείο Ζ που ευρίσκεται επί της ευθείας Newton του τετραπλεύρου (η ευθεία που ορίζεται από τα μέσα των διαγωνίων) και είναι το αρμονικό συζυγές του μέσου μιάς διαγωνίου ως προς τα μέσα των άλλων δύο.

Η απόδειξη μπορεί να γίνει γεωμετρικά χρησιμοποιώντας τις προτάσεις Μενελάου και Ceva και υπολογίζοντας τους λόγους που αποτέμνουν οι διάφορες ευθείες επί των πλευρών των σχηματιζομένων τετραπλεύρων και τριγώνων (δες Newton ευθείας ιδιότητα ). Ισοδύναμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν προβολικές συντεταγμένες. Ακολουθώ εδώ την δεύτερη μέθοδο.
Ως προβολική βάση διαλέγω τα {A,B,C,D}. Γιά τον υπολογισμό των μέσων χρειάζεται η ευθεία στο άπειρο, της οποίας η εξίσωση μπορεί να υποτεθεί ότι είναι της μορφής.
ax + by + cz = 0.

Η εικόνα συνοψίζει τους υπολογισμούς και δείχνει τις συντεταγμένες των βασικών τετραπλεύρων ABCD και IJKL. Δείχνει επίσης τις διάφορες αξιοσημείωτες ευθείες μαζί με τις εξισώσεις τους.
Το μέσον κάθε πλευράς του IJKL είναι το συζυγές του σημείου στο άπειρο αυτής της πλευράς, που είναι το σημείο τομής της πλευράς με την ευθεία στο άπειρο. Έτσι λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη μορφή της ευθείας στο άπειρο οι συντεταγμένες των μέσων μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των συντελεστών {a, b, c}. Έτσι το μέσον:
A₁ = (c-a)I + (b-a)L,
Επίσης τα μέσα {Μ, Ν} των διαγωνίων υπολογίζονται:
M = (0,c,b) και N = (2a+b+c,a,a),
Από αυτές υπολογίζεται άμεσα ότι η τομή της ευθείας Newton ΜΝ με την AA₁ είναι το σημείο
Z = N - M = (2a+b+c, a-c, a-b).
To σημείο αυτό είναι το αρμονικό του μέσου Ο της τρίτης διαγωνίου ως προς τα δύο άλλα {Μ, Ν}. Ανάλογα συνεπώς και οι άλλες διάμεσοι {BB₁, CC₁, DD₁} θα περνούν από το ίδιο σημείο.

Δείτε ακόμη

Newton ευθείας ιδιότητα
Ευθεία Newton τετραπλεύρου
Προβολικές συντεταγμένες

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/