ParaCircumscribed

1. Ελάχιστη έλλειψη, περιγεγραμμένη παραλληλογράμμου

Θεώρησε το παραλληλόγραμμο p = EFGH. Από όλες τις ελλείψεις, τις περιγεγραμμένες παραλληλογράμμου, υπάρχει μία (m), που έχει ελάχιστο εμβαδόν. Οι κατευθύνσεις των πλευρών του παραλληλογράμμου είναι συζυγείς κατευθύνσεις αυτής της έλλειψης. Το ίδιο συμβαίνει και με τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου.

Η απόδειξη ανάγεται στην αντίστοιχη γιά ελλείψεις περιγεγραμμένες τετραγώνου.
Είναι γνωστό, ότι ο περίκυκλος τετραγώνου είναι η ελάχιστη (ως προς το εμβαδόν) περιγεγραμμένη έλλειψη του τετραγώνου.
Γιά την απόδειξη δες το έγγραφο Ελάχιστη έλλειψη . Σύμφωνα με τις γενικές ιδιότητες των προβολικοτήτων, υπάρχει μιά προβολικότητα F, απεικονίζουσα τις κορυφές του τετραγώνου: {A, B, C, D} αντίστοιχα στις κορυφές του παραλληλογράμμου {A, B, C, D}. Η εικόνα του κύκλου, ως προς αυτήν την προβολικότητα, είναι η ελάχιστη περιγεγραμμένη έλλειψη (ως προς το εμβαδόν) m του παραλληλογράμμου.
Πράγματι, σε αυτήν την περίπτωση, η προβολικότητα απεικονίζει δύο σημεία της ευθείας στο άπειρο, αντίστοιχα των δύο παραλλήλων πλευρών του τετραγώνου, σε δύο σημεία της ευθείας στο άπειρο, αντίστοιχα των πλευρών του παραλληλογράμμου. Η απεικόνιση λοιπόν είναι ένας γραμμικός συσχετισμός, που αφήνει την ευθεία στο άπειρο αναλλοίωτη ως σύνολο και πολλαπλασιάζει το εμβαδόν των σχημάτων με ένα σταθερό αριθμό (την ορίζουσα του πίνακα που παριστά τον συσχετισμό). δηλαδή, εάν η c είναι μιά περιγεγραμμένη έλλειψη του τετραγώνου και η F(c), η εικόνα της, μιά περιγεγραμμένη έλλειψη του παραλληλογράμμου, τότε ο λόγος των εμβαδών: ε(F(c))/ε(c) = k, είναι μιά σταθερά. Τούτο αποδεικνύει τον ισχυρισμό.

Έστω τώρα (c) ο περίκυκλος του τετραγώνου. Ορθογώνιες κατευθύνσεις, από το κέντρο του κύκλου, απεικονίζονται μέσω της F σε συζυγείς κατευθύνσεις της έλλειψης F(c). Τούτο έπεται από το γεγονός, ότι η F διατηρεί την παραλληλία ευθειών. Άρα η κατεύθυνση (IK) απεικονίζεται στην (JM) και η παράλληλή της εφαπτόμενη (LQ), απεικονίζεται στην (NP), εφαπτόμενη παράλληλη της (JM). Συνεπώς, η (IL), ορθογώνια στην (IK), απεικονίζεται στην (JN), που είναι συζυγής της (JM). Παίρνοντας την IK παράλληλο προς δύο πλευρές του τετραγώνου, έπεται ο ισχυρισμός γιά τις πλευρές του παραλληλογράμμου. Ο ισχυρισμός γιά τις διαγώνιες έπεται παίρνοντας ως Κ μιά κορυφή του τετραγώνου.

Δες το έγγραφο Διαίρεση παραλληλογράμμου γιά μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή στο πρόβλημα της διαίρεσης παραλληλογράμμου σε τέσσαρα ίσα μέρη, μέσω δύο τεμνομένων ευθειών.

2. Μέγιστη έλλειψη εγγεγραμμένη σε παραλληλόγραμμο

Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να βρούμε και την μέγιστη ως προς εμβαδόν έλλειψη εγγεγραμμένη σε παραλληλόγραμμο και να δείξουμε ανάλογες συζυγίες πλευρών και διαγωνίων. Προς τούτο αποδεικνύουμε πρώτα ότι ο κύκλος είναι η μεγαλύτερη έλλειψη εγγεγραμμένη τετραγώνου (δες Μέγιστη έλλειψη ) και κατόπιν κάνοντας την ίδια διαδικασία μέσω συσχετισμένης απεικόνισης βρίσκουμε την μέγιστη έλλειψη στο παραλληλόγραμμο.

Από την διατήρηση λόγων μέσω συσχετισμένων μετασχηματισμών έπεται ότι οι δύο ελλείψεις είναι ομοιόθετες ως προς το κοινό κέντρο τους με λόγο ομοιοθεσίας

Δείτε ακόμη

Μέγιστη έλλειψη
Διαίρεση παραλληλογράμμου
Ελάχιστη έλλειψη

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/