Thales_General

1. Γενίκευση του θεωρήματος του Θαλή

Εστω η δέσμη κύκλων (Y) που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία G, F. Θεωρούμε δύο ευθείες που διέρχονται από το G καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που αποτέμνονται επ' αυτών από τους δύο κύκλους.
Ισχύει ότι WN/NR = UV/VP = QO/OS = KJ/LK.
Κατά συνέπεια ο λόγος UV/VP είναι ανεξάρτητος της θέσης της ευθείας GE.
Ισχύει επίσης ότι UV/WN = VP/NR.
Άρα ο λόγος UV/WN είναι ανεξάρτητος του ζεύγους των κύκλων από τους οποίους ορίζεται και εξαρτάται μόνον από την θέση των δύο ευθειών GE and GH.
Το θεώρημα του Θαλή μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική (οριακή) περίπτωση του παρόντος σχήματος. Η ειδική περίπτωση προκύπτει αφήνοντας το G να πάει προς μία ορισμένη κατεύθυνση L στο άπειρο. Τότε η δέσμη των κύκλων τείνει προς την δέσμη των ευθειών που διέρχονται διά του F και οι ευθείες δια του G τείνουν προς το σύστημα των παραλλήλων προς την κατεύθυνση L.

Το σχήμα τα λέει όλα. Οι τέσσερις ίσοι λόγοι δείχνουν ότι ο φαινομενικά μεταβλητός λόγος UV/VP ισούται με τον JK/KL που είναι ανεξάρτητος της θέσης της ευθείας GE. Γιά τους δύο τελευταίους λόγους σημειώστε ότι UV/WN = (UV/JK)/(WN/JK), που είναι ένας λόγος συνημιτόνων των γωνιών των ευθειών UV, WN με την ευθεία IJ. Ο λόγος αυτός είναι ανεξάρτητος του ειδικού ζεύγους κύκλων που ορίζουν τα UV και WN.

2. Αντίστροφο

Όπως και το γνωστό θεώρημα του Θαλή (δες Θεώρημα του Θαλή ), γιά το θεώρημα αυτό ισχύει και το αντίστροφο:
Εάν οι λόγοι UV/VP = WN/NR πάνω σε δύο τεμνόμενες ευθείες GE, GH, τότε οι περίκυκλοι των τριγώνων UWG, VNG, PRG περνούν από κοινό σημείο F.

Αυτό αποδεικνύεται εύκολα υποθέτοντας ότι οι δύο πρώτοι περίκυκλοι τέμνονται σε σημείο F και αποδεικνύοντας ότι και ο τρίτος πρέπει να περνά επίσης από το F.

Το αντίστροφο του θεωρήματος έχει και μιά συνέπεια που φαίνεται κάπως περίεργη. Αν πάρουμε σε δύο τεμνόμενες ευθείες GE, GH αντίστοιχα ίσα τμήματα ξεκινώντας από δύο αυθαίρετα σημεία τους U, W:
UV = VP = PM = ... = a και
WN = NR = RT = ... = b,
τότε οι περίκυκλοι των τριγώνων GUW, GVN, GPR, GMT, ... περνούν όλοι από ένα σημείο F. Μάλιστα αν πάρουμε αρκετά τέτοια σημεία και θεωρήσουμε τις ευθείες τους UW, VN, PR, MT, ... βλέπουμε ότι περιβάλλουν μιά καμπύλη που μοιάζει με παραβολή.

3. Η κρυμμένη παραβολή

Η παραβολή αυτή έχει εστία στο F και την μελετάμε στο Παραβολή του Θαλή . Ο προηγούμενος τρόπος κατασκευής μιάς χονδρικής εικόνας της παραβολής, με την χρήση επαναλαμβανομένων ίσων τμημάτων σε δύο ευθείες, a στην μία και b στην άλλη, συναντάται συχνά σε βιβλία εκλαϊκευτικών Μαθηματικών.
Το σχήμα της παραβολής εξαρτάται από τις δύο ευθείες GE, GH, τα αρχικά σημεία W,U και τα a, b. Όπως αναμένουμε από το θεώρημα η εξάρτηση του σχήματος της παραβολής από τα a,b δεν είναι απόλυτη αλλά μόνο σχετική και μάλιστα μόνον από τον λόγο a/b.
Μιά άλλη αξιοσημείωτη παρατήρηση αφορά στα τρίγωνα GWU, GNV, ... κτλ.. Αν δείξουμε ότι όλες αυτές οι ευθείες είναι εφαπτόμενες μιάς παραβολής, τότε τα τρίγωνα αυτά θα έχουν και τις τρεις πλευρές τους εφαπτόμενες αυτής της παραβολής. Όμως γιά παραβολές γνωρίζουμε την βασική τους ιδιότητα (δες Παραβολή σε πλαγιογώνιους άξονες ) , ότι γιά τρίγωνα που σχηματίζονται από τρεις εφαπτόμενές τους οι αντίστοιχοι περίκυκλοι περνούν πάντοτε από την εστία της παραβολής.
Το γεγονός αυτό δίνει μιά άλλη άποψη στο θέμα και το συνδέει με ιδιότητες τριγώνων που εφάπτονται (οι πλευρές τους) μιάς ορισμένης παραβολής. Η ιδιότητα της σταθερότητας των λόγων UV/VP = WN/NR αποδεικνύεται ως συνέπεια μιάς γενικώτερης ιδιότητας των κωνικών που σχετίζεται με τον διπλό λόγο τεσσάρων σημείων τους.
Έτσι μπορούμε να πούμε, ότι, στην ουσία του, το θεώρημα του Θαλή είναι μιά οριακή περίπτωση του γενικώτερου θεωρήματος που είδαμε εδώ, το οποίο, με την σειρά του οφείλεται στην ύπαρξη του διπλού λόγου τεσσάρων σημείων κωνικής και μιάς ποικιλίας ισοδυνάμων τρόπων μέτρησής του μέσω προβολής των σημείων σε μία ευθεία (Μιά ιδιότητητα της παραβολής και τις αναφορές εκεί).

Δείτε ακόμη

Μιά ιδιότητητα της παραβολής
Παραβολή σε πλαγιογώνιους άξονες
Θεώρημα του Θαλή
Θεώρημα του Θαλή ΙΙ
Παρατηρήσεις στο θεώρημα του Θαλή
Παραβολή του Θαλή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/