TwelvePivots

1. Οδηγοί εγγραφής

Δοθέντων δύο τριγώνων ABC και A'B'C' ένας οδηγός εγγραφής του A'B'C' στο ABC είναι ένα σημείο P, έτσι ώστε το ποδικό του Ρ ως προς το ABC να είναι τρίγωνο όμοιο του A'B'C'.

Οι βασικές ιδιότητες των οδηγών εγγραφής εξετάζονται στο Οδηγοί εγγραφής . Εδώ, αναλύω την δομή του συνόλου όλων των οδηγών του A'B'C' ως προς το ABC. Από αντίστοιχες ιδιότητες των ποδικών τριγώνων (δες αναφορές) γνωρίζουμε ότι το ποδικό σημείου Ρ είναι όμοιο με τα ποδικά των αντιστρόφων του P ως προς τους Απολλώνιους κύκλους και τον περίκυκλο του ΑΒC. Οι τέσσερις αυτές αντιστροφές παράγουν μία ομάδα 12 στοιχείων και το σύνολο των οδηγών εγγραφής του A'B'C' είναι μία τροχιά αυτής της ομάδος.

2. Το πρότυπο της ομάδος

Η πρότυπη ομάδα G₀, προς την οποία η γενική ομάδα G που μας ενδιαφέρει είναι ισόμορφη, παράγεται από δύο ανακλάσεις {R₁, R₂} σε δύο ευθείες {e₁, e₂} που σχηματίζουν γωνία 60 μοιρών, και μία αντιστροφή F ως προς κύκλο (c) με κέντρο στην τομή Ο αυτών των ευθειών.

Η ομάδα G₀ έχει 12 στοιχεία, που είναι:
(1) οι τρεις γενήτορες {R₁, R₂, F} και η ταυτοτική,
(2) η ανάκλαση R₃ = R₂R₁R₂ στην ευθεία e₃ που προκύπτει εξ ανακλάσεως της e₁ στην e₂,
(3) οι δύο στροφές V₁ = R₂*R₁, V₂ = V₁²,
(4) και οι έξι συνθέσεις των προηγουμένων με την F: {F, FR₁, FR₂, FR₃, FV₁, FV₂}.

Η ομάδα αυτή έχει τον τομέα AOB μεταξύ των ευθειών {e₁, e₂} και του κύκλου (c) ως θεμελιώδη περιοχή, δηλαδή κάθε τροχιά G₀x = {g₁x, ..., g₁₂x} της ομάδος, γιά x αυθαίρετο σημείο του επιπέδου, συναντά αυτήν την περιοχή σε ένα ακριβώς σημείο. Τα σημεία στο εσωτερικό της περιοχής έχουν τροχιές από 12 σημεία ακριβώς. Τα σημεία στο σύνορο της περιοχής έχουν τροχιές με λιγώτερα σημεία. Ακριβέστερα, σημεία κείμενα στα ανοικτά τόξα {OA, OB, AB} έχουν τροχιές 6 σημείων, τα σημεία {A,B} έχουν τροχιές 3 σημείων και το O έχει τροχιά δύο σημείων, που αποτελείται από το O και το σημείο στο άπειρο I.

2. Η ομάδα Lemoine του τριγώνου

Η ομάδα Lemoine G τριγώνου ABC είναι η ομάδα που παράγεται από τις αντιστροφές ως προς τους τρεις Απολλώνιους κύκλους και τον περίκυκλο του τριγώνου. H G έχει δώδεκα στοιχεία και είναι ισόμορφη της ομάδος G₀ της προηγουμένης παραγράφου, μέσω συζυγίας με έναν μετασχηματισμό Moebius H. Ο H ορίζεται μέσω της απαίτησης να απεικονίζει τις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου A₀B₀C₀ στις αντίστοιχες κορυφές του τριγώνου ABC.

Η απεικόνιση H στέλνει τους άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου στους Απολλώνιους κύκλους και τον περίκυκλο του ισοπλεύρου στον περίκυκλο του ABC. Το κέντρο του ισοπλεύρου O απεικονίζεται μέσω της H στο πρώτο ισοδυναμικό σημείο J του τριγώνου ABC. Κάθε στοιχείο F της ομάδος G είναι συζυγές μέσω της H σε κάποιο στοιχείο F₀ της ομάδος G₀ (F = HF₀H^-1). Οι τροχιές Gy ενός σημείου μέσω της G είναι εικόνες H(Gx) τροχιών των προεικόνων x του y (= H(x)). Οι ιδιότητες αυτές προκύπτουν από την συζήτηση στο Μετασχηματισμοί Moebius . Εκεί επίσης αποδεικνύεται ότι οι κύκλοι με κέντρο το O απεικονίζονται μέσω της H στην δέσμη κύκλων που παράγεται από τον περίκυκλο και τον κύκλο Brocard του τριγώνου ABC, άρα οι τροχιές του y μέσω της G περιέχονται ανά έξι σε δύο κύκλους που είναι αντίστροφοι ως προς τον περίκυκλο.

3. Οι 12 οδηγοί εγγραφής

Από την ανάλυση που έγινε εδώ και στο αρχείο Οδηγοί εγγραφής προκύπτει ότι το σύνολο των οδηγών εγγραφής του A'B'C' στο ABC αποτελούν μία τροχιά Gy της ομάδας του Lemoine G του τριγώνου. Συνεπώς περιέχουν 12 σημεία εάν το y είναι στο εσωτερικό της θεμελιώδους περιοχής της ομάδος G. Η περιοχή αυτή (κίτρινη JCC') είναι η εικόνα της θεμελιώδους περιοχής της G₀ μέσω της H. Υπάρχουν λοιπόν εν γένει 12 οδηγοί εγγραφής του A'B'C' στο ABC. Εάν όμως το y είναι στο τόξο CC' του περικύκλου, τότε το αντίστοιχο ποδικό είναι εκφυλισμένο (ευθεία Simson). Εάν το y είναι σημείο των ανοικτών τόξων {JC, JC'} υπάρχουν 6 οδηγοί. Η περίπτωση αυτή είναι χαρακτηριστική οδηγών που έχουν ποδικά τρίγωνα ισοσκελή (δες Ποδικό και Απολλώνιοι κύκλοι ). Τέλος υπάρχει η περίπτωση όπου το y ταυτίζεται με το ισοδυναμικό σημείο J. Σε αυτήν την περίπτωση η τροχιά συμπίπτει με το σύνολο {J, J'} των δύο ισοδυναμικών σημείων. Τα αντίστοιχα τρίγωνα είναι ισόπλευρα. Μιά εικόνα ενός τριγώνου και των έξι εσωτερικών του περικύκλου του οδηγών εγγραφής περιέχεται στο Οδηγοί εγγραφής εσωτερικοί .

Δείτε ακόμη

Απολλώνιοι κύκλοι
Οδηγοί εγγραφής
Οδηγοί εγγραφής εσωτερικοί
Μετασχηματισμός Moebius
Ανακυκλωτής Moebius
Ποδικό τρίγωνο
Ποδικό και Απολλώνιοι κύκλοι Ποδικό και αντιστροφή

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed. New York, Barnes and Noble, 1952.
Paris Pamfilos On Some Actions of D₃ on the triangle. (Forum Geometricorum 4(2004) 157-176) [pdf]
Schwerdtfeger, Hans Geometry of complex numbers New York, Dover, 1979.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/