Similarity

1. Ομοιότητα

Ομοιότητα είναι μία απεικόνιση F του επιπέδου στον εαυτό του που ορίζεται μέσω μίας τριάδας (Ο, ω, k), αποτελούμενης από ένα σημείο Ο, μία γωνία ω και έναν (θετικό) αριθμό k. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο ομοιότητας, η γωνία ω λέγεται γωνία στροφής της ομοιότητας και το k λέγεται λόγος της ομοιότητας.

Γιά κάθε σημείο Ρ διαφορετικό από το Ο το F(P)=P' ορίζεται στρέφοντας το Ρ κατά την γωνία ω στο σημείο Ρ₀ και κατόπιν παίρνοντας στην ευθεία ΟΡ₀ to P' έτσι ώστε ΟΡ'/ΟΡ₀ = k.
Εξ ορισμού λοιπόν η ομοιότητα είναι σύνθεση μιάς στροφής R_ω και μίας ομοιοθεσίας Η_k

2. Βασικός τρόπος ορισμού Ομοιότητας

Μία ομοιότητα F ορίζεται μέσω δύο σημείων {A,B} και των εικόνων τους {A'=F(A),B'=F(B)}. Το κέντρο της ομοιότητας είναι το σημείο τομής O των κύκλων διερχομένων αντίστοιχα από τα τρία σημεία {A,A',I}, {B,B',I}, όπου I είναι το σημείο τομής των AB και A'B'. Ο λόγος της ομοιότητας είναι το πηλίκον των μηκών k = |A'B'|/|AB| και η γωνία στροφής της ομοιότητας είναι η γωνία ω των ευθειών φορέων τους.

Όταν οι ευθείες {ΑΒ, Α'Β'} είναι παράλληλες το I πάει στο άπειρο και οι κύκλοι γίνονται οι ευθείες {ΑΑ', ΒΒ'}. Η ομοιότητα γίνεται τότε ομοιθεσία με κέντρο το σημείο τομής αυτών των ευθειών και λόγο k.

Παρατήρηση Ένα σημείο X του ΑΒ με συγκεκριμένη θέση ως προς το AB (π.χ. οριζόμενη από τον λόγο r=XA/XB) απεικονίζεται κατά την ομοιότητα σε σημείο X' της Α'Β' με την ίδια σχετική θέση ως προς A'B' (ο λόγος X'A'/X'B' είναι επίσης r). Τούτο έχει σαν συνέπεια όλοι οι κύκλοι {X,X',I} να διέρχονται διά του O. Υπάρχει και μιά άλλη άποψη αυτού του φαινομένου που εξετάζεται στο Γενίκευση θεωρήματος του Θαλή .

3. Ένα διακεκριμένο παράδειγμα ομοιότητας

Ένα από τα πιό σημαντικά παραδείγματα ομοιότητας είναι, νομίζω, το επόμενο, στο οποίο ένα τρίγωνο περιβάλλει ένα άλλο παραμένοντας όμοιο εαυτού. Γιά την κατασκευή του παραδείγματος θεώρησε σταθερό τρίγωνο t₀ = DEF και όρισε τους κύκλους των οποίων τα σημεία (των εξωτερικών τόξων) βλέπουν τις πλευρές του αντίστοιχα υπό γωνίες {φ, χ, ψ} με φ+χ+ψ=π.
Πάρε κατόπιν τυχόν σημείο A στο φ-τόξο και φέρε τις ευθείες AE, AF μέχρις ότου ξανατμήσουν τους κύκλους στα σημεία C, B. Τα επόμενα έπονται από τους ορισμούς:

[1] Η ευθεία BC διέρχεται από το D και το τρίγωνο t = ABC έχει γωνίες {φ,χ,ψ}.
[2] Οι κύκλοι επι των οποίων τα A,B,C διέρχονται από κοινό σημείο O, που χαρακτηρίζετια από την ιδιότητα να βλέπει τις πλευρές του DEF υπό συμπληρωματικές γωνίες {π-φ, π-χ, π-ψ}.
[3] Το κέντρο ομοιότητας των τριγώνων ABC και A'B'C' είναι το σημείο O.
[4] Το σημείο O έχει την ίδια σχετική θέση ως προς όλα αυτά τα τρίγωνα ABC. Αυτό σημαίνει ότι φέρνοντας τις κάθετες στις πλευρές τους {OX, OY, OZ} οι λόγοι ανά δύο (OX : OY : OZ) είναι σταθεροί. Αυτό συμβαίνει διότι γιά δύο τέτοια τρίγωνα ABC , A'B'C' οι αντίστοιχες OX, OX' προκύπτουν από την ομοιότητα που απεικονίζει το ABC στο A'B'C' (προηγούμενο σχήμα με {Χ,Χ'} τους πόδες των καθέτων στα ΑΒ, Α'Β' από το Ο), άρα η γωνία τους είναι η γωνία της ομοιότητας και ο λόγος των μηκών τους ο λόγος αυτής της ομοιότητας OX'/OX = r.

[5] Και αντίστροφα, σημεία U που έχουν την ίδια σχετική θέση ως προς το ABC διαγράφουν κύκλο διερχόμενο διά του O.
Αυτό προκύπτει πρώτα γιά σημεία U επί των πλευρών του ABC, μέσω της προηγουμένης παρατήρησης. Κατόπιν η απόδειξη επεκτείνεται γιά όλα τα σημεία προεκτείνοντας την OU μέχρι να τμήσει τις πλευρές του τριγώνου ABC και χρησιμοποιώντας πάλι την παρατήρηση.
[6] Η προηγούμενη παρατήρηση συνεπάγεται ότι και όλες οι ευθείες L που έχουν σταθερή σχετική θέση ως προς το ABC διέρχονται από σταθερό σημείο O*, το ίδιο γιά όλες αυτές τις L (το οποίο βέβαια αλλάζει όταν αλλάζει η σχετική θέση της L).
Πράγματι, η σταθερή σχετική θέση της L εξασφαλίζεται απαιτώντας η προβολή O_L του O επί της L να είναι σημείο με σταθερή σχετική θέση ως προς το ABC. Τότε το O_L διαγράφει κύκλο διά του O και το O* είναι το αντιδιαμετρικό του O σε αυτόν τον κύκλο. (Το επιχείρημα θα μπορούσε να αντιστραφεί και να αποδειχθεί πρώτα αυτό και μετά το [5]).

4. Οδηγοί περιγραφής τριγώνου σε άλλο

Το O λέγεται ένας οδηγός περιγραφής του ABC περί το τρίγωνο DEF. Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του O ως προς και τα δύο τρίγωνα (DEF και ABC) καθορίζονται από τις γωνίες των δύο τριγώνων καθώς και το ποιά του ενός είναι απέναντι σε ποιά του άλλου.
Αφού μπορούμε να συνδυάσουμε οποιαδήποτε από τις γωνίες του DEF με οποιαδήποτε από τις γωνίες τουΑΒC βλέπουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον έξι δυνατές θέσεις γιά τον οδηγό Ο.
Επιτρέποντας στο ABC και προσανατολισμό αντίθετο αυτού του DEF αυξάνουμε το πλήθος των οδηγών σε 12. Στο αρχείο Οδηγοί εγγραφής και το Οδηγοί εγγραφής 12 εξετάζω το ίδιο θέμα με την μικρή διαφορά ότι αντί να περιστρέφω το ABC γύρω από το DEF, θεωρώ το ABC ακίνητο και περιστρέφω το DEF έτσι ώστε οι κορυφές του να γλιστράνε στις ευθείες-πλευρές του ABC ενώ παραμένει ομοιο προς εαυτό.

Διατυπώνω τα συμπεράσματα στην μορφή θεωρήματος (δες αναφορά στο βιβλίο του Yaglom):

Θεώρημα Εάν τρίγωνο ABC κινήται έτσι ώστε να παραμένει όμοιο προς εαυτό ενώ ταυτόχρονα οι πλευρές του διέρχονται από τρία σταθερά σημεία {D,E,F} τότε:
α) Όλες οι ομοιότητες που εναλλάσσουν δύο τέτοιες θέσεις του ABC έχουν το ίδιο σημείο O ως κέντρο ομοιότητος.
β) Κάθε σημείο με σταθερή σχετική θέση ως προς ABC διαγράφει κύκλο διά του O.
iii) Κάθε ευθεία L με σταθερή σχετική θέση ως προς ABC διέρχεται από σημείο O_L, το οποίο είναι το αντιδιαμετρικό του O ως προς τον κύκλο που διαγράφει ό πόδας της καθέτου στην L από το O.

Δείτε ακόμη

Γενίκευση θεωρήματος του Θαλή
Οδηγοί εγγραφής
Οδηγοί εγγραφής 12

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations (3 vols.) Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/