PolygonsInPolygons

1. Εγγραφή πολυγώνου σε άλλο

Δίδονται δύο πολύγωνα p = Α₁...Α_n και q = B₁...B_n. Ξεκινώντας από σημείο C₁ της ευθείας-πλευράς Α₁Α₂ του πρώτου πολυγώνου φέρνω παράλληλο προς την πρώτη πλευρά του δευτέρου (q) έως ότου τμήσει την δεύτερη πλευρά Α₂Α₃ του p στο σημείο C₂. Aπό το C₂ φέρνω παράλληλο προς την δεύτερη πλευρά B₂B₃ του q έως ότου τμήσει την τρίτη πλευρά του p στο C₃ κ.ο.κ..
[1] Το σημείο τομής Z της C₁C₂ και C_nC_n+1 κινήται επ' ευθείας καθώς η θέση του C₁ μεταβάλλεται επί της Α₁Α₂.
[2] Υπάρχει πολύγωνο s=C₁C₂...C_n εγγεγραμμένο στο p με πλευρές αντίστοιχα παράλληλες προς αυτές του q;
[3] Πότε η προηγούμενη διαδικασία δίδει πολύγωνο s=C₁C₂...C_n εγγεγραμμένο στο p με πλευρές αντίστοιχα παράλληλες προς αυτές του q γιά κάθε επιλογή του C₁ επί της Α₁Α₂;

H απάντηση στα ερωτήματα μπορεί εύκολα να δοθεί γενικά. Προτιμώ εδώ την συζήτηση στην περίπτωση n=4 γιά τετράπλευρα.
[1] Το τρίγωνο C₅C₁Z είναι όμοιο εαυτώ γιά κάθε θέση του C₁ επί της A₁A₂. Επίσης η αντιστοίχιση των σημείων της ευθείας C₁ --> C₅ περιγράφεται σε συντεταγμένες από μία γραμμική σχέση y=ax+b. Όθεν υπολογίζεται εύκολα και η γραμμική εξάρτηση των συντεταγμένων του Ζ ως προς σύστημα με άξονες παράλληλους των Α₁Α₂, C₄C₅.
[2] H απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι:
(α) ναι, εάν η προηγούμενη ευθεία (e) τόπος του Z τέμνει την A₁A₂. Εάν συμβαίνει αυτό τότε η διαδικασία που ξεκινά από το Z₀ θα επανακάμπτει σε αυτό δημιουργώντας ένα κλειστό πολύγωνο με πλευρές παράλληλες προς αντίστοιχες του q. Αυτό βέβαια υπό την προϋπόθεση μιά γενικής θέσης των πλευρών του q σε σχέση με αυτές του p, σύμφωνα με την οποία καμία εκ των πλευρών του ενός πολυγώνου δεν είναι παράλληλη προς πλευρά του άλλου.
(β) όχι, εάν η προηγούμενη ευθεία (e) δεν τέμνει την A₁A₂.
[3] Γιά να έχουμε ταύτιση του C₁ με το C₅ γιά κάθε θέση του C₁ θα πρέπει η ευθεία (e) να συμπίπτει με την Α₁Α₂. Η συνθήκη αυτή μπορεί να εκφρασθεί με την βοήθεια της έννοιας των συσχετισμένων ανακλάσεων (δες Συσχετισμένες ανακλάσεις και ολισθήσεις ).
Πράγματι, η απεικόνιση που στέλνει το C₁ στο C₂ μπορεί να θεωρηθεί ως συσχετισμένη ανάκλαση F₁ με άξονα την διάμεσο του τριγώνου A₂C₂C₁ από το A₂ προς την C₁C₂ και συζυγή κατεύθυνση την B₁B₂. Ανάλογα ορίζεται η συζηγής ανάκλαση F₂ ως προς την διάμεσο από το A₃ του τριγώνου A₃C₃C₂. Ανάλογα και η F₃ και τέλος η F₄.
Το να ταυτίζεται η ευθεία (e) με την A₁A₂ σημαίνει ότι η συσχετισμένη απεικόνιση F που είναι σύνθεση αυτών των ανακλάσεων F = F₄F₃F₂F₁ έχει στην ευθεία A₁A₂ μόνο σταθερά σημεία, άρα συμπίπτει με μιά ομοιανάκλαση ή ολίσθηση.
Η ορίζουσα της F είναι ωστόσο ίση με 1 (ως γινόμενο των οριζουσών των F_i) συνεπώς η F είναι ή η ταυτοτική απεικόνιση ή μία συσχετισμένη ολίσθηση.
Παραδείγματα δείχνουν ότι και τα δύο μπορούν να συμβούν.

2. Συζυγές πολυγώνου ως προς σημείο

Γιά κάθε πολύγωνο p = Α₁...Α_n και σημείο Ζ μη-κείμενο επ' αυτού, ορίζεται ένα άλλο πολύγωνο q(Ζ) = B₁...B_n, του οποίου οι πλευρές είναι οι αρμονικές συζυγείς των ευθειών {ZA₁, ..., ZA_n}. To πολύγωνο q(Z) ονομάζω συζυγές του p ως προς Z.
Σημείωσε ότι στην περίπτωση τριγώνου τα αντίστοιχα {B₁,B₂,B₃} είναι τα αρμονικά συσχετισμένα του Ζ ως προς το τρίγωνο (δες Τριγραμμικές συντεταγμένες [19]).

Θεώρημα-1 Γιά κάθε πολύγωνο p = Α₁...Α_n, με περιττό n, η συσχετισμένη απεικόνιση F που είναι σύνθεση συσχετισμένων ανακλάσεων F = F_n...F₁ είναι και αυτή μία συσχετισμένη ανάκλαση με συζυγή κατεύθυνση αυτήν της πλευράς A₁A_n και άξονα διερχόμενο διά του Z.
Εδώ με F_i συμβολίζω την συσχετισμένη ανάκλαση με άξονα ZA_i και συζυγή κατεύθυνση την αρμονική της ZA_i ως προς τις πλευρές του p που πρόσκεινται στην κορυφή A_i.

H απόδειξη έπεται αμέσως από τις επόμενες παρατηρήσεις:
[1] Oι ευθείες οι παράλληλες προς την πλευρά A₁A_n παραμένουν αναλλοίωτες ως προς την F. Αυτό είναι άμεσο γιά την A₁A_n. Σε αυτήν την ειδική περίπτωση ανάγεται και μιά γενικώτερη παράλληλος διότι μιά τέτοια ορίζει πολύγωνο όμοιο του p με κέντρο ομοιότητας το Z.
[2] Γιά κάθε Χ επί της A₁A_n οι ευθείες {XX₁, X_n-1X_n} τέμνονται επί μιάς σταθεράς ευθείας η οποία τέμνει (δες άσκηση παρακάτω) την A₁A_n σε σημείο X₀. Το σημείο αυτό είναι σταθερό σημείο της F.
[3] H ευθεία ΖΧ₀ παραμένει σταθερά κατά σημείο (αφού δύο σημεία της είναι σταθερά).
[4] Μιά συσχετισμένη απεικόνιση που αφήνει σταθερή μία ευθεία είναι ή συσχετισμένη ομοιανάκλαση ή συσχετισμένη ολίσθηση. Επειδή η ορίζουσα της F είναι -1, η απεικόνιση είναι συσχετισμένη ανάκλαση.

Θεώρημα-2 Γιά κάθε πολύγωνο p = Α₁...Α_n με άρτιο n η συσχετισμένη απεικόνιση F που είναι σύνθεση συσχετισμένων ανακλάσεων F = F_n...F₁ είναι μία συσχετισμένη ολίσθηση με άξονα παράλληλο προς την πλευρά A₁A_n και διερχόμενο διά του σημείου Z ή η ταυτοτική απεικόνιση.

H απόδειξη είναι ανάλογη της προηγούμενης. Η μόνη διαφορά είναι στην ορίζουσα της F που τώρα είναι +1, ενώ η F διατηρεί πάλι αναλλοίωτες τις παράλληλες προς την A₁A_n. Ανάλογος συλλογισμός με τον προηγούμενο (και αυτόν της άσκησης) δείχνει ότι σε κάθε ευθεία παράλληλη της (A₁A_n) η F δρα ως μεταφορά κατά σταθερό διάνυσμα (v). Εάν το v μηδενίζεται σε μία θέση έκτός του άξονος της F, τότε μηδενίζεται παντού. Άρα σε αυτήν την περίπτωση αν η πολυγωνική γραμμή κλείνει γιά μιά θέση X επί της Α₁Α_n τότε θα κλείνει γιά κάθε θέση του X επί αυτής της ευθείας.
Μία ειδική περίπτωση συζυγούς πολυγώνου γιά τετράπλευρα και γιά την οποία η αντίστοιχη F είναι η ταυτοτική εξετάζεται στο Newton ευθείας ιδιότητα .

3. Άσκηση

Δίδεται πολύγωνο p = Α₁...Α_n με n περιττό και σημείο Ζ ως προς το οποίο ορίζεται το συζυγές πολύγωνο q = B₁...B_n και η συσχετισμένη απεικόνιση F = F_n...F₁ όπως προηγουμένως.
Δείξε ότι γιά κάθε X επί της Α₁Α_n η εικόνα X' = F(X) ορίζει σημείο της A₁A_n και όλα τα ΧΧ' έχουν το ίδιο μέσον Μ.

Περιορίζομαι στην περίπτωση του τριγώνου. Η γενική περίπτωση αποδεικνύεται ανάλογα. Η βασική ιδιότητα που χρησιμοποιείται είναι ότι η F αφήνει αναλλοίωτες τις παράλληλες προς την A₁A_n. Παίρνω λοιπόν αρχή αξόνων σημείο Z και πρώτο διάνυσμα u παράλληλο της ευθείας A₁A_n. Ως δεύτερο διάνυσμα παίρνω ενα οποιοδήποτε v ανεξάρτητο του πρώτου.
To σημείο με συντεταγμένες (x,y) θα απεικονίζεται σε σημείο με συντεταγμένες (ax+by+c, y). Επειδή το (0,0) είναι σταθερό σημείο, έπεται ότι c=0. Άρα η ορίζουσα του μετασχηματισμού θα είναι ίση με a. Επειδή η F είναι γινόμενο περιττού πλήθους συσχετισμένων ανακλάσεων θα πρέπει a = -1. Συνεπώς ο μετασχηματισμός θα περιγράφεται σε συντεταγμένες από τύπους της μορφής (x' = -x + by, y' = y). Ευθείες παράλληλες προς την A₁A_n ορίζονται μέσω της y = y₀. Γιά τέτοιες ευθείες το μέσον του XX' έχει συντεταγμένες (x+x')/2 = by₀/2 ανεξάρτητες της θέσης του X στην ευθεία την παράλληλη της A₁A_n.

Δείτε ακόμη

Συσχετισμένες ανακλάσεις και ολισθήσεις
Newton ευθείας ιδιότητα
Τριγραμμικές συντεταγμένες

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/