TrilinearPolar

1. Τριγραμμική πολική

Δίδεται τρίγωνο t = (ABC) και σημείο J. Τα ίχνη {A',B',C'} του J είναι οι τομές των ευθειών {AJ, BJ, CJ} με τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές του ABC. Το τρίγωνο t' = (A'B'C') είναι το σεβιανό του J.
Ισχύει ότι τα σημεία τομής {A*,B*,C*} των αντιστοίχων ζευγών ευθειών (AB, A'B'), (BC, B'C'), (CA, C'A') περιέχονται σε ευθεία tr(J) ονομαζόμενη τριγραμμική πολική του J ως προς το t.

Μιά απόδειξη προκύπτει εφαρμόζοντας το θεώρημα του Desargues (δες Θεώρημα του Desargues ) στα τρίγωνα t, t', τα οποία, εκ κατασκευής είναι σημειακά προοπτικά: με κέντρο προοπτικότητας το J ευρίσκεται επί των ευθειών διά των σημείων {(A, A'), (B, B'), (C, C')} αντίστοιχα. Κατά, Desargues τα δύο τρίγωνα είναι και ευθειακά-προοπτικά και αντίστοιχες πλευρές τους τέμνονται επ' ευθείας tr(J).
Μιά άλλη απόδειξη προκύπτει θεωρώντας το βασικό σχήμα γιά αρμονικά συζυγή σημεία (δες Αρμονική διαίρεση ). Πράγματι, θεώρησε την ευθεία των δύο σημείων τομής {A*,B*} και δείξε ότι και το C* είναι επ' αυτής. Κατά το προαναφερθέν σχήμα τα σημεία {C',C*} είναι αρμονικά συζυγή των {A, B}. Άρα η δέσμη των τεσσάρων ευθειών (CA,CB,CC',CC*) είναι αρμονική και ορίζει επί της ευθείας A*B* μιά αρμονική διαίρεση. Όμως η ευθεία A'B' περνά επίσης από το αρμονικό συζυγές του C' ως προς τα {A,B} που είναι το C*.
Μιά τρίτη απόδειξη περιέχεται στο (6) του Προβολική Βάση .

2. Τριγραμμικός πόλος

Δοθέντος τριγώνου αναφοράς t = (ABC) και ευθείας L η προηγούμενη διαδικασία μπορεί να αντιστραφεί και να ορισθεί σημείο P του οποίου η τριγραμμική πολική να είναι η δοθείσα L.
Προς τούτο θεώρησε τα σημεία τομής {A*,B*,C*} της L με τις πλευρές του τριγώνου και τα αντίστοιχα αρμονικά συζυγή σημεία {A',B',C'} ως προς τα ζεύγη {(B,C),(C,A),(A,B)}. Τότε οι ευθείες {AA',BB',CC'} διέρχονται από κοινό σημείο και τούτο είναι ο τριγραμμικός πόλος της L. Η απόδειξη μπορεί να βασισθεί στο θεώρημα του Desargues. Συχνά σημβολίζω το P=tr^-1(L) με το ίδιο σύμβολο P=tr(L). Σε αυτήν την περίπτωση προκύπτει από τα συμφραζόμενα αν το tr(K) είναι σημείο (πόλος) ή ευθεία (πολική).

3. Μερικές ειδικές τριγραμμικές πολικές

[1] Τριγραμμικές πολικές δεν ορίζονται γιά σημεία που συμπίπτουν με τις κορυφές του τριγώνου αναφοράς ABC. Οριακά οι πλευρές του τριγώνου αυτού είναι τριγραμμικές πολικές κάθε σημείου τους (εκτός των κορυφών).
[2] Η πιό διακεκριμένη τριγραμμική πολική είναι ίσως η ευθεία στο άπειρο με πόλο το κέντρο βάρους του τριγώνου.
[3] Μιά άλλη ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι αυτή του συμετροδιάμεσου σημείου, του οποίου η τριγραμμική πολική είναι ο άξονας Lemoine του τριγώνου.
[4] Μιά τρίτη ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι ο ορθικός άξονας, που είναι η τριγραμμική πολική του ορθοκέντρου.
[5] Εύκολα βλέπει κανείς ότι σημεία των διαμέσων του τριγώνου αναφοράς έχουν τριγραμμικές πολικές παράλληλες των αντιστοίχων πλευρών του τριγώνου (προς τις οποίες οι διάμεσοι). Έτσι διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο στο άπειρο, που ορίζεται από την πλευρά επί της οποίας η διάμεσος. Ισοδύναμα: οι τριγραμμικοί πόλοι ευθειών παραλλήλων προς πλευρά τριγώνου περιέχονται στην αντίστοιχο διάμεσο του τριγώνου.
Αυτό μπορεί να δημιουργήσει εσφαλμένη εντύπωση γιά τον τόπο των πόλων ευθειών που διέρχονται από σημείο. Η αλήθεια είναι ότι οι τριγραμμικοί πόλοι ευθειών διερχομένων διά σημείου Ρ περιέχονται σε κωνική που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου αναφοράς (περι-κωνική).
Στην περίπτωση της διαμέσου η κωνική είναι εκφυλισμένη, αποτελούμενη από δύο ευθείες: την διάμεσο και την εφ' ης η διάμεσος πλευρά του τριγώνου. Γιά την γενική εικόνα δες το Ισοτομική κωνική ευθείας .
Γιά γενικώτερες κωνικές που προκύπτουν ως τόποι τριγραμμικών πόλων παραλλήλων ευθειών δες το Τριγραμμική Πολική (ΙΙ) .

4. Προβολικό αναλλοίωτο

Τριγραμμικές πολικές είναι προβολικά αναλλοίωτα ζευγών (ABC, P) που αποτελούνται από τρίγωνο και σημείο μη-κείμενο επί των πλευρών του τριγώνου. Γιά κάθε δύο τέτοια ζεύγη (A₁B₁C₁,P₁) and (A₂B₂C₂,P₂) υπάρχει μία προβολικότητα (f) που απεικονίζει το ένα ζεύγος στο άλλο, με την έννοια f(A₁)=A₂, ..., f(P₁)=P₂. Επειδή οι κατασκευές που μεσολαβούν στον ορισμό της τριγραμμικής πολικής είναι προβολικά αναλλοίωτες, έπεται ότι μιά τέτοια απεικόνιση απεικονίζει την τριγραμμικη πολική του P₁ ως προς το A₁B₁C₁ στην τριγραμμική πολική του P₂ ως προς το A₂B₂C₂.
Ειδικά, θεώρησε τρίγωνο (A₀B₀C₀,G) και το κέντρο βάρους του G που έχει τριγραμμική πολική tr(G)=L την ευθεία στο άπειρο. Έπεται ότι γιά κάθε άλλο ζεύγος (ABC,P) η τριγραμμική πολική tr(P) του P ως προς ABC είναι η εικόνα f(L) της ευθείας στο άπειρο, όπου (f) η προβολικότητα που ορίζεται μονοσήμανατ από τις ιδιότητες {f(A₀)=A, f(B₀)=B, f(C₀)=C, f(G)=P}.

5. Η πολική άποψη

Θεώρησε ισόπλευρο τρίγωνο και το κέντρο του (A₀B₀C₀,P₀). Η τριγραμμική πολική του P₀ είναι η ευθεία στο άπειρο. Η ευθεία αυτή συμπίπτει με την πολική του P₀ ως προς τον περίκυκλο του τριγώνου. Η εικόνα αυτή γενικεύεται γιά ένα αυθαίρετο ζεύγος (ABC,P) χρησιμοποιώντας μιά προβολικότητα. Η προβολικότητα αυτή απεικονίζει τον κύκλο σε μιά κωνική (c) διερχόμενη από τις κορυφές του ABC και απεικονίζει επίσης την ευθεία στο άπειρο στην τριγραμμική πολική tr(P) του P. Επειδή η πολική κωνικής ως προς σημείο είναι επίσης προβολικό αναλλοίωτο, η τριγραμμική πολική tr(P) του P είναι επίσης η πολική του P ως προς την κωνική (c).
Υπάρχει λοιπόν μιά κωνική (c) στενά συνδεδεμένη με το ζεύγος (ABC, P) και η τριγραμμική πολική είναι πολική του P ως προς αυτήν την κωνική.

6. Τρίγωνα με την ίδια πολική

Σημείωσε ότι η τριγραμμική πολική του J ως προς το τρίγωνο A'B'C' (ονομάζεται πρε-σεβιανό του ABC ως προς J) είναι η ίδια ευθεία tr(J). Πράγματι, από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, μπορεί κανείς να δει ότι η τριγραμμική πολική του A'B'C' ως προς το J είναι η ίδια με την τριγραμμική πολική του ίδιου σημείου J ως προς το τρίγωνο των αρμονικών συζυγων σημείων {A,B,C} του J ως προς το A'B'C' (δες Τριγραμμικές συντεταγμένες ).
Έτσι, παίρνοντας αρμονικά συζυγή του J ως προς το A'B'C' και επαναλαμβάνοντας την διαδικασία κατασκευάζουμε άπειρα τρίγωνα που έχουν την ίδια τριγραμμική πολική ως προς το ίδιο σημείο.
Η αντίστροφη διαδικασία είναι να θεωρήσουμε κατ' επαναληψη ιχνη του J. Τούτο δημιουργεί ακολουθία τριγώνων που συγκλίνουν στο J.

7. Η σχέση P <--> tr(P)

Έστω το τρίγωνο αναφοράς ABC. Η σχέση μεταξύ σημείων-ευθειών: P <---> tr(P) μοιάζει με την πολικότητα ως προς κωνική. Ωστόσο η ομοιότητα είναι μόνο φαινομενική. Γιά παράδειγμα, παίρνοντας την πολική T(P) και τις πολικές T(Q) γιά σημεία Q επί της T(P), οι τριγραμμικές πολικές T(Q) δεν διέρχονται από κοινό σημείο (όπως συμβαίνει με τις πολικές ως προς κωνική) αλλά περιβάλλου μιάν ορισμένη κωνική (τούτο εξετάζεται στο Κωνικές του τριγώνου ). Έτσι, αντίθετα με την πολικότητα ως προς κωνική, παίρνοντας τριγραμμικές πολικές ως προς τρίγωνο ABC δεν ορίζει προβολική απεικόνιση. Τούτο φαίνεται επίσης παίρνοντας συντεταγμένες ως προς προβολική βάση {A,B,C,D} στην οποία ένα σημείο παρίσταται ως aA+bB+cC, ενώ η τριγραμμική πολική του είναι ευθεία με εξίσωση (1/a)x+(1/b)y+(1/c)z = 0.

8. Άποψη προοπτικότητας

Τα τρίγωνα ABC και A'B'C' είναι σημειακά-προοπτικά ως προς το J. Συνεπώς, κατα Desargues είναι επίσης ευθειακά- (ή αξονικά-) προοπτικά. Από την άποψη της σχέσης προοπτικότητας τα δύο τρίγωνα παίζουν έναν συμμετρικό ρόλο. Πράγματι, το κέντρο και ο άξονας προοπτικότητας είναι γεωμετρικές κατασκευές στις οποίες τα δύο τρίγωνα, εν γένει, συμμετέχουν με συμμετρικό τρόπο, χωρίς να μπορούμε να διακρίνουμε το ένα από το άλλο. Στην ειδική περίπτωση όμως της τριγραμμικής πολικής δεν συμβαίνει κάτι παρόμοιο. Σε αυτήν έχουμ μιά ειδική προοπτικότητα, κατά την οποία οι κορυφές του ενός τριγώνου περιέχονται στις πλευρές του άλλου.
Μιά παραλλαγή σε αυτό το θέμα είναι να ορίσει κανείς μιά προοπτικότητα (δες Προοπτικότητα ) F απαιτώντας από αυτήν να αφήνει σταθερό το J και να απεικονίζει τα {A,B,C} αντίστοιχα στα {A',B',C'}. Η απεικόνιση αυτή και η αντίστροφή της εφαρμοζόμενη κατ' επανάληψη στο τρίγωνο ABC παράγει την άπειρη ακολουθία τριγώνων της παραγράφου 6. Η απεικόνιση αυτή συζητείται εκτενέστερα στο Τριγραμμική Προβολικότητα και τις εκεί αναφορές.

9. Οι δύο κωνικές

Υπάρχουν δύο αξιόλογες κωνικές {c₀,c₁} στενά συνδεδεμένες με το σύστημα (ABC, J) αποτελούμενο από ένα τρίγωνο και ένα σημείο μη-κείμενο επί των πλευρών του. Η κωνική c₀ παράγεται από τους τριπόλους ευθειών διά του J. Η κωνική c₁ παράγεται ως περιβάλλουσα των τριγραμμικών πολικών tr(P) γιά σημεία P επί της τριγραμμικής πολικής tr(J) του J.
Το σημείο J και η ευθεία tr(J) λέγονται αντίστοιχα κέντρο προοπτικής και άξων προοπτικής αυτών των κωνικών. Γιά μιά μελέτη αυτών των κωνικών ενδείκνυται να χρησιμοποιηθούν κατάλληλες προβολικές συντεταγμένες (δες Γενικευμένη Ισογωνιότητα ). Στο αρχείο Κωνικές του τριγώνου περιέχεται μιά συζήτηση των βασικών ιδιοτήτων αυτών των κωνικών.

Δείτε ακόμη

Τριγραμμική Πολική (ΙΙ)
Αρμονική διαίρεση
Θεώρημα του Desargues
Γενικευμένη Ισογωνιότητα
Τριγραμμική Προβολικότητα
Προοπτικότητα
Κωνικές του τριγώνου
Τριγραμμικές συντεταγμένες
Ισοτομική κωνική ευθείας
Προβολική Βάση

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/