[alogo] Αλυσίδες κύκλων του Steiner

Οι αλυσίδες κύκλων του Steiner είναι ακολουθίες κύκλων {a0, a1, ...} κάθε ένας από τους οποίους εφάπτεται στον προηγούμενο και όλοι εφάπτονται δύο κύκλων {c1, c2}.
Στο Αλυσίδες του Steiner (II) εξέτασα μιά μέθοδο κατασκευής της ακολουθίας βασισμένη σε αντιστροφές ως προς κύκλους ορθογώνιους στους {c1, c2}.
Εδώ εξετάζω μιάν άλλη μέθοδο βασισμένη σε μιά και μοναδική αντιστροφή που απεικονίζει τους δύο κύκλους {c1, c2} σε δύο τεμνόμενες ευθείες {e1, e2} αντίστοιχα.

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]
[1_0] [1_1] [1_2] [1_3]

Γιά την κατασκευή της ακολουθίας, όρισε πρώτα την αντιστροφή F ως προς τον κύκλο c(B,|BA|).
Κατόπιν εφάρμοσε αυτήν την αντιστροφή στους δύο κύκλους {c1, c2} γιά να προκύψουν αντίστοιχα οι ευθείες {e1, e2} correspondingly.
O κύκλος a0 απεικονίζεται μέσω της F σε κύκλο b0 εφαπτόμενο των δύο ευθειών.
Όρισε κατόπιν την ομοιοθεσία H κέντρου A και λόγου (1-s)/(1+s), όπου s=sin(w/2) και w είναι η γωνία των {e1, e2}. Η ομοιοθεσία αυτή απεικονίζει τον κύκλο b0 σε κύκλο b1 εφαπτόμενο των δύο ευθειών και του ιδίου του b0.
Εφαρμόζοντας κατ' επανάληψη την ομοιοθεσία H παίρνουμε την ακολουθία κύκλων {b0, b1, b2, ...}, καθένας από τους οποίους εφάπτεται των ευθειών {e1, e2} καθώς και του προηγουμένου του. Εφαρμόζοντας κατόπιν την F σε αυτήν την ακολουθία κύκλων παίρνουμε την αλυσίδα την εγγεγραμμένη στους {c1, c2}.
Ένα παρόμοιο επιχείρημα χρησιμοποιείται στο Αλυσίδες του Steiner γιά την απόδειξη του θεωρήματος του Steiner γιά πεπερασμένες αλυσίδες περιεχόμενες μεταξύ δύο κύκλων.

Δείτε ακόμη

Αντιστροφή
Δέσμες κύκλων
Αλυσίδες του Steiner
Αλυσίδες του Steiner (II)
Εφαπτόμενο μέλος

Βιβλιογραφία

Steiner, J. Werke Bd. I, II. New York, Chelsea, 1971, bd I, p. 43.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©