[alogo] Αλυσίδα του Steiner

Αλυσίδα του Steiner είναι μιά ακολουθία κύκλων {a0, a1, ...} κάθε μιά από τις οποίες είναι εφαπτόμενη στον προηγούμενο και όλες είναι εφαπτόμενες σε δύο κύκλους {c1, c2}.
Εδώ εξετάζω το θεώρημα του Steiner γιά πεπερασμένες ακολουθίες κύκλων περιεχόμενες μεταξύ δύο κύκλων {c1, c2} ένας εκ των οποίων είναι ολόκληρος μέσα στον άλλον.

Θεώρημα Εάν ο τελευταίος κύκλος (an) της αλυσίδας τέμνει/εφάπτεται/δεν τέμνει τον πρώτο (a0), το ίδιο θα συμβαίνει και με μιά οποιαδήποτε άλλη θέση του αρχικού κύκλου (a0).

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]
[1_0] [1_1] [1_2] [1_3]
[2_0] [2_1] [2_2] [2_3]

Το θεώρημα αποδεικνύεται αμέσως υποβάλλοντας όλο το σύστημα των κύκλων σε μιά αντιστροφή ως προς κατάλληλο κύκλο (c). Ο κύκλος c έχει κέντρο το σημείο A που είναι ένα από τα δύο οριακά σημεία της δέσμης κύκλων (I), αποτελούμενης από τους κύκλους που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιοι στους c1 και c2.
Η ακτίνα του c μπορεί να είναι αυθαίρετη (στο σχήμα ελέγχεται από το σημείο F).
Η αντιστροφή Fc ως προς c έχει την ιδιότητα να αντιστρέφει τους δύο μη-τεμνόμενους κύκλους {c1, c2} σε δύο συγκεντρικούς {d1, d2}. Τότε ολόκληρη η ακολουθία {a0, a1, ... } απεικονίζεται μέσω της Fc σε μιά ακολουθία ίσων κύκλων {b0, b1, ...} εφαπτομένων των {d1, d2}.
Το θεώρημα προκύπτει αμέσως από την συμμετρία ως προς στροφές του συστήματος {d1, d2, b0, b1, ...}.
Σημείωση Το προηγούμενο σχήμα κατασκευάστηκε με την αντίστροφη διαδικασία: Πρώτα η ακολουθία { b0, b1, ...} με κατ' επανάληψη περιστροφή του b0 περί το E κατά γωνία w (η γωνία των εφαπτομένων στον b0 από το E), και κατόπιν αντιστροφή των κύκλων αυτών γιά να προκύψουν οι {a0, a1, ...} .

Δείτε ακόμη

Αντιστροφή
Δέσμες κύκλων
Αλυσίδες του Steiner (II)
Αλυσίδες του Steiner (III)

Βιβλιογραφία

Steiner, J. Werke Bd. I, II. New York, Chelsea, 1971, bd I, p. 43.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©