TriangleSimilaritiesProd

Σύνθεση ομοιοτήτων τριγώνου

Εάν F παριστά την ομοιότητα με κέντρο Α, γωνία (ΒΑΓ) και λόγο ΑΒ/ΑΓ, εάν G παριστά την ομοιότητα με κέντρο Β, γωνία (ΓΒΑ) και λόγο ΒΓ/ΒΑ και αν S παριστά την ομοιότητα με κέντρο Γ, γωνία (ΑΓΒ) και λόγο ΓΑ/ΓΒ, τότε η σύνθεση Τ = S*R = S*G*F θα συμπίπτει με την συμμετρία ως προς το Β.

Η αρχή του θέματος περιέχεται στο έγγραφο: Απολλωνίου κύκλου ιδιότητα .
Δίδεται τρίγωνο ΑΒΓ, ο Απολλώνιος κύκλος του k(ΕΓ) (τόπος των σημείων Γ' για τα οποία Γ'Α/Γ'Β = ΓΑ/ΓΒ), ο περιγεγραμμένος του (ΔΑ) και ο κύκλος (HA) ο διερχόμενος δια των ΔΑΒ.
[1] Τα σημεία Γ, Ι και Θ (Θ αντιδιαμετρικό του Δ ως προς Η) είναι επ' ευθείας που είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου διά του Α.
[2] Το σημείο Κ, τομή των ΕΔ και ΓΙ ορίζει τα τρίγωνα, σ = (ΚΑΙ) και ρ = (ΚΙΒ), όμοια προς το αρχικό τ = (ΓΑΒ).
Από τον ορισμό της F προκύπτει F(I) = K και από τον ορισμό της G: G(Κ) = Ι. Άρα η σύνθεση των δύο ομοιοτήτων R = G*F αφήνει το σημείο Ι σταθερό. Ισχύει επίσης F(B) = Γ και G(Γ) = Α. Άρα R(B) = A. Συνεπώς η R είναι η ομοιότητα με κέντρο το Ι, γωνία (ΒΙΑ) = (ΒΑΓ)+(ΑΒΓ) και λόγο ΙΒ/ΙΑ = ΓΒ/ΓΑ.
Από τον ορισμό της S προκύπτει S(A) = B. Συνεπώς η σύνθεση Τ = S*R = S*G*F, θα έχει T(B) = S(R(B)) = B σταθερό. Συνεπώς θα συμπίπτει με μιά ομοιότητα με κέντρο το Β, γωνία π και λόγο το γινόμενο των λόγων των R και S. Το γινόμενο αυτό είναι 1, άρα η Τ θα συμπίπτει με την συμμετρία ως προς το Β.

Δείτε ακόμη

Απολλωνίου κύκλου ιδιότητα
Ομοιότητα
Στροφών σύνθεση (σε τρίγωνο)
Στροφών σύνθεση (περιττών)

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations ΙΙΙ Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/