Apollonian

Σχετικά με τον Απολλώνιο κύκλο

Δίδεται τρίγωνον ΑΒΓ, ο Απολλώνιος κύκλος του k(ΕΓ) (τόπος των σημείων Γ' για τα οποία Γ'Α/Γ'Β = ΓΑ/ΓΒ) , ο περιγεγραμμένος του m(ΔΑ) και ο κύκλος c(HA) ο διερχόμενος δια των {Δ,Α,Β}. Δείξε ότι τα σημεία Γ, Ι και Θ (Θ αντιδιαμετρικό του Δ ως προς Η) είναι επ' ευθείας.

Ο Απολλώνιος κύκλος k(ΕΓ) τέμνει ορθογώνια τον περιγεγραμμένο m(ΔΑ). Τα δε σημεία Α, Β είναι αντίστροφα ως προς τον k(ΕΓ). Άρα κάθε κύκλος διερχόμενος απ' αυτά θα τέμνει τον k(ΕΓ) επίσης ορθογώνια. Ειδικά ο κύκλος κέντρου Θ και ακτίνας ΘΒ θα τέμνει ορθογώνια τον k(ΕΓ) και τον m(ΔΑ), άρα το σημείο Θ θα έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο αυτούς κύκλους (ίσες με το τετράγωνο της ΘΑ). Άρα το Θ θα ευρίσκεται επί του ριζικού άξονος ΓΙ των κύκλων (ΕΓ) και (ΔΑ).
Παρατήρηση Η ΑΙ είναι η συμετροδιάμεσος του τριγώνου ΑΒC από το Α.
Μια σχετική εφαρμογή περιέχεται στο: Ομοιοτήτων σύνθεση (τρίγωνο) .

Δείτε ακόμη

Απολλωνίου κύκλοι
Ομοιοτήτων σύνθεση (τρίγωνο)
Ομοιότητα
Συμμετροδιάμεσος

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/