MEM-215 Συναρτησιακή Ανάλυση

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ1)	Επιλογής Κορμού
Έτος/εξάμηνο	3ο / Εαρινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 4
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 0
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-100, MEM-101, MEM-106, MEM-112, MEM-211, MEM-212
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να κατανοούν τις βασικές ιδιότητες τής νόρμας.
• Να αποδεικνύουν απλά αποτελέσματα που συνδυάζουν την (μετρική) τοπολογική και τη γραμμική δομή ενός χώρου με νόρμα.
• Να κατανοούν τη σημασία τής έννοιας τής πληρότητας.
• Να γνωρίζουν τους κλασικούς (κυρίως ακολουθιακούς) χώρους Banach και τις βασικές ιδιότητές τους.
• Να διακρίνουν τη δομή εσωτερικού γινομένου σε χώρους Hilbert.
• Να γνωρίζουν την έννοια τού φραγμένου γραμμικού τελεστή.
• Να κατανοούν την έννοια τού δυϊκού χώρου και να εφαρμόζουν τις σχετικές τεχνικές.
• Να διατυπώνουν προβλήματα από άλλες περιοχές των μαθηματικών χρησιμοποιώντας τον φορμαλισμό τής συναρτησιακής ανάλυσης.
• Να επιχειρηματολογούν αυστηρά σε πλαίσια πιο αφηρημένα από εκείνα τής στοιχειώδους ανάλυσης.

Περιεχόμενο

• Χώροι με νόρμα. Στοιχειώδεις τοπολογικές έννοιες (συνέχεια νόρμας, ανοικτά και κλειστά σύνολα, κλειστότητα και εσωτερικό, πυκνότητα υποχώρων, διαχωρισιμότητα, σύκλιση ακολουθιών), με έμφαση στην αλληλεπίδραση με τη γραμμική δομή.
• Πληρότητα. Xώροι Banach και βασικές ιδιότητες (πληρότητα κλειστών υποχώρων, χαρακτηρισμός μέσω σειρών). Παραδείγματα μη πλήρων χώρων με νόρμα.
• Κλασικοί χώροι Banach (χώροι αθροίσιμων, συγκλινουσών και φραγμένων ακολουθιών, χώροι συνεχών συναρτήσεων) και βασικές ιδιότητές τους (για παράδειγμα, διαχωρισιμότητα και πυκνοί υποχώροι).
• Χαρακτηρισμός χώρων με νόρμα πεπερασμένης διάστασης. Ισοδυναμία νορμών. Λήμμα Riesz.
• Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Ισομορφισμοί και ισομετρίες. Νόρμα τελεστή. Ο χώρος των φραγμένων τελεστών ως χώρος Banach. Επέκταση φραγμένων τελεστών ορισμένων σε πυκνό υποχώρο.
• Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή. Ο δυϊκός χώρος ως χώρος Banach. Σύγκριση με τον αλγεβρικό δυϊκό. Σύγκριση με την περίπτωση χώρου πεπερασμένης διάστασης.
• Χώροι με εσωτερικό γινόμενο. Η έννοια τής ορθογωνιότητας. Ορθογώνια συμπληρώματα. Χώροι Hilbert.
• Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή σε χώρους Hilbert. To θεώρημα αναπαράστασης τού Riesz.
• Ορθοκανονικές βάσεις. Ορθοκανονικοποίηση. Ανισότητα Bessel. Ταυτότητα Parseval. Αφηρημένοι συντελεστές Fourier. Η καθολικότητα τού χώρου ℓ2(Α).
• [Προαιρετικά.] Αναφορά (χωρίς απόδειξη) στο θεώρημα Hahn–Banach και σε κάποιες τυπικές εφαρμογές (προσδιορισμός νόρμας στοιχείου μέσω συναρτησοειδούς, διαχωρισιμότητα χώρου με διαχωρίσιμο δυϊκό, εμφύτευση στον δεύτερο δυϊκό, αυτοπάθεια).
• [Προαιρετικά.] Αναφορά (χωρίς απόδειξη) στο θεώρημα ανοικτής απεικόνισης, στο θεώρημα κλειστού γραφήματος και στην αρχή ομοιομόρφου φράγματος, μαζί με τυπικές εφαρμογές (κατά σημείο σύγκλιση ακολουθιών φραγμένων τελεστών, θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης, ισοδυναμία νορμών σε χώρους Banach).

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis. Wiley, 1989.
• Σ. Νεγρεπόντης, Θ. Ζαχαριάδης, Ν. Καλαμίδας, Β. Φαρμάκη. Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση. Εκδόσεις Συμμετρία, 1997.
• G.F. Simmons. Introduction to Topology and Modern Analysis. Krieger Publishing Company, 2003.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-215 Συναρτησιακή Ανάλυση, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-215 Συναρτησιακή Ανάλυση, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών