MEM-216 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ1)	Επιλογής Κορμού
Έτος/εξάμηνο	4ο / Εαρινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 4
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 0
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-105, MEM-106, MEM-108, MEM-112, MEM-211, MEM-212
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να αναγνωρίζουν ανοικτά, κλειστά και συμπαγή σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο.
• Να κατανοούν την παράγωγο συνάρτησης πολλών μεταβλητών ως γραμμικό τελεστή (ή πίνακα).
• Να χειρίζονται πράξεις πάνω σε διαφορικές μορφές (π.χ. το wedge-γινόμενο και το διαφορικό) και να ολοκληρώνουν διαφορικές μορφές.
• Να κατανοούν τον ορισμό της πολλαπλότητας (επιφάνειας).
• Να κατανοούν τις αποδείξεις των βασικών θεωρημάτων του απειροστικού λογισμού πολλών μεταβλητών (αντίστροφης απεικόνισης, Stokes κ.τ.λ.) τα οποία είχαν δει στους Απειροστικούς Λογισμούς ΙΙ και ΙΙΙ αλλά χωρίς (αυστηρά μαθηματικές) αποδείξεις.
• Να λύνουν ασκήσεις θεωρητικής υφής.

Περιεχόμενο

• Τοπολογία τού Ευκλείδειου χώρου. Εσωτερικά, οριακά και συνοριακά σημεία συνόλου. Ανοικτά και κλειστά σύνολα. Συμπαγή σύνολα. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Συνέχεια και συμπάγεια.
• Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών και οι βασικές ιδιότητες. Κανόνας αλυσίδας. Μερικές παράγωγοι. Κριτήριο παραγωγισιμότητας. Θεωρήματα αντίστροφης απεικόνισης και πεπλεγμένης συνάρτησης.
• Ολοκλήρωμα Riemann πραγματικής συνάρτησης σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αλλά και σε γενικότερα χωρία. Χαρακτηρισμός ολοκληρωσιμότητας βάσει του συνόλου σημείων ασυνέχειας της συνάρτησης. Θεώρημα Fubini. Διαμερίσεις της μονάδας και τύπος αλλαγής μεταβλητής στο ολοκλήρωμα.
• Εναλλάσσοντες τανυστές και διαφορικές μορφές. Wedge-γινόμενο διαφορικών μορφών και διαφορικό διαφορικής μορφής. Κλειστές και ακριβείς διαφορικές μορφές. Το λήμμα Poincare.
• Ιδιάζοντες κύβοι και αλυσίδες. Το θεώρημα Stokes.
• Πολλαπλότητες στον Ευκλείδειο χώρο και πολλαπλότητες με σύνορο στον Ευκλείδειο χώρο. Διαφορικές μορφές σε πολλαπλότητα. Προσανατολισμός επιφάνειας. Το θεώρημα Stokes σε επιφάνειες.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• M. Spivak. Λογισμός σε Πολλαπλότητες. ΠΕΚ, 1994.
• J. Munkres, Analysis on Manifolds. Addison-Wesley Publishing Company, 1991.
• M. do Carmo, Διαφορικές Μορφές, Θεωρία και Εφαρμογές. Leader Books, 2010.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-216 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-216 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών