ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΡΓΟΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ (Προπτυχιακό)

Eαρινό Εξάμηνο 2024

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη και Πέμπτη 5:15-7:00 στην Ε204.

Βασικό Συγγράμμα: Μ.Einsiedler-T.Ward, Ergodic Theory (with a view towards Number Theory).

Βοηθητικό Σύγγραμμα (Για γενική θεωρία μέτρου-Κεφάλαιο 6): Ε. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis. Princeton Lectures in Analysis (Book 3).

Προαπαιτούμενα: Πραγματική Ανάλυση.

Γραφείο: Γ307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη 12:00-2:00.

Ύλη: Βασικές έννοιες γενικής θεωρίας μέτρου, παραδείγματα μετρήσιμων δυναμικών συστημάτων, το θεώρημα επαναφοράς του Poincare, το εργοδικό θεώρημα Von Neumann και Birkhoff, εφαρμογές (ισοκατανομή ακολουθιών, κανονικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών για στάσιμες στοχαστικές ανελίξεις), παραδείγματα weak mixing συστημάτων και ισοδύναμοι ορισμοί, strong mixing, αμετάβλητα μέτρα σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, μοναδικά εργοδικά συστήματα, ισοκατανομή άρρητων πολυωνύμων, το θεώρημα Von Neumann για τετράγωνα, αρχή αντιστoίχισης Furstenberg, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Furstenberg-Sarkozy). (Kομμάτια από από τα Kεφάλαια 2, 4, 7 του βιβλίου των Einsiedler-Ward).

Εφαρμογές εργοδικής θεωρίας: Σε συνδυαστική εδώ και εδώ, θεωρία αριθμών εδώ, διοφαντικές προσεγγίσεις εδώ και εδώ, billiards εδώ και εδώ, γεωμετρία Riemann εδώ, στατιστική μηχανική και πιθανότητες εδώ.

Βαθμολογία: Πρόοδος 35%, Τελικό διαγώνισμα: 65%.

Ανακοινώσεις

2/2: Λόγω της κατάληψης του κτιρίου, με απόφαση της γενικής συνέλευσης του τμήματος, τα μαθήματα δε θα ξεκινήσουν την επόμενη εβδομάδα. Ευελπιστώ η επόμενη απόφαση για κατάληψη ή μη του κτιρίου να ληφθεί με μαζικότερη συμμετοχή των φοιτητών ώστε να μην αποφασίζουν πολύ λίγοι (42 ψήφισαν στη ΓΣ φοιτητών ΤΜΕΜ 31/1) για πάρα πολλούς (>1500 ενεργοί φοιτητές ΤΜΕΜ).

6/2: Mέχρι να ξεκινήσουν τα μαθήματα μπορείτε να διαβάσετε το Κεφάλαιο 6 (γενική θεωρία μέτρου) του βοηθητικού συγγράματος (αν δεν μπορείτε να το βρείτε σε ηλεκτρονική μορφή στείλτε μου email).

8/2: Tα μαθήματα ξεκινούν κανονικά, δια ζώσης, την επόμενη εβδομάδα.

12/3: Το μάθημα της Πέμπτης θα αναπληρωθεί την Παρασκευή 15 Μαρτίου 3:15-5:00 στην Ε204.

15/3: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 23 Απριλίου 3:15-5:15 στην Ε204. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες που καλύψαμε μέχρι τις 2 Απριλίου (ακριβώς πριν την απόδειξη του εργοδικού θεωρήματος on Neumann). Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

25/4: Θα κάνουμε ένα εξτρά μάθημα την Τετάρτη 15 Μαϊου 5:15-7:00 στην Ε204 και ασκήσεις την Τετάρτη 22 Μαϊου 3:15-6:00 στην Ε204. Το μάθημα της Πέμπτης 23 Μαϊου ακυρώνεται.

26/4: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.

14/6: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.

23/8: Το διαγώνισμα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη θα γίνει στις 27/8 ώρα 15:00-18:00 στην αίθουσα Α214. Θα εξεταστείτε σε όλη την ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως ασκήσεις).

28/8: Τα θέματα του διαγωνίσματος της εξεταστικής του Σεπτεμβρίου είναι εδώ. Oι τελικοί βαθμοί είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (13, 15 Φεβρουαρίου): Επισκόπηση μαθήματος, βασικά αποτελέσματα γενικής θεωρίας μέτρου, κανονικοί χώροι μέτρου (μέρος από τις παραγράφους 1.1, 1.3, Κεφάλαιο 6 (γενική θεωρία μέτρου) του βοηθητικού συγγράματος).

2η Εβδομάδα (20, 22 Φεβρουαρίου): Συστήματα που διατηρούν το μέτρο (δυναμικά συστήματα), ορισμός και ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί, παραδείγματα δυναμικών συστημάτων, στροφές και ομομορφισμοί στον κύκλο (μέρος από τις παραγράφους 2.1, Appendix A.1, Α.3, C.1, C.2, C.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

3η Εβδομάδα (27, 29 Φεβρουαρίου): Στροφές και ομομορφισμοί στον τόρο και γενικότερα σε γενικότερες συμπαγείς αβελιανές ομάδες, αφινικοί μετασχηματισμοί, skew products, ο μετασχηματισμός Gauss (μέρος από τις παραγράφους 2.1, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward, κάναμε όμως πολλά περισσότερα παραδείγματα).

4η Εβδομάδα (5 Μαρτίου): Συνεχείς μετασχηματισμοί σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, στροφές σε συμπαγείς αβελιανές ομάδες, χώρος ακολουθιών, συμπάγεια, κυλινδρικά σύνολα, stationary μέτρα στον χώρο ακολουθιών.

5η Εβδομάδα (12, 15 Μαρτίου): Θεώρημα επέκτασης Kolmogorov, Bernoulli shifts, σχέση εργοδικής θεωρίας με πιθανότητες (αντιστοιχία Kolmogorov) και συνδυαστική (αντιστοιχία Furstenberg) θεώρημα επαναφοράς Poincare, σύνολα και ακολουθίες επαναφοράς, παραδείγματα (μέρος από τις παραγράφους 2.1, 2.2, 7.2, 7.3, από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

6η Εβδομάδα (19, 21 Μαρτίου): Θεώρημα επαναφοράς Poincare σε κανονικούς χώρους και παραδείγματα, εργοδικά δυναμικά συστήματα, παραδείγματα μη εργοδικών συστημάτων, ισοδύναμοι ορισμοί, κριτήρια εργοδικότητας (μέρος από τις παραγράφους 2.2, 2.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

7η Εβδομάδα (26, 28 Μαρτίου): Παραδείγματα εργοδικών μετασχηματισμών, στροφές σε συμπαγείς αβελιανές ομάδες, επιμορφισμοί και αφινικοί μετασχηματισμοί στον πολυδιάστατο τόρο, skew products (μέρος από τις παραγράφους 2.3, 2.4 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

8η Εβδομάδα (2, 4 Απριλίου): Εργοδικότητα Bernoulli shifts και μετασχηματισμού Gauss και σχέση με ανάλυση σε μερικά κλάσματα, εργοδικό θεώρημα Von Neumann, αναγωγή σε θεώρημα σύγκλισης για μοναδιαίους τελεστές σε χώρους Hilbert, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης, και δεύτερη απόδειξη με χρήση θεωρήματος αναπαράστασης Herglotz, (μέρος από τις παραγράφους 2.3, 2.5, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

9η Εβδομάδα (9, 11 Απριλίου): Δεύτερη απόδειξη εργοδικού θεωρήματος Von Neumann με χρήση θεωρήματος αναπαράστασης Herglotz, θεώρημα επαναφοράς Khintchine, λήμμα van der Corput σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο, θεώρημα σύγκλισης Furstenberg για την ακολουθία τετραγώνων και θεώρημα επαναφοράς Furstenberg-Sarkozy για την ακολουθία τετραγώνων, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης (μέρος από τις παράγραφους 2.5, 3.2, 7.4 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward). Ιστορικά στοιχεία σχετικά με εργοδικά θεωρήματα που έχουμε αποδείξει εδώ.

10η Εβδομάδα (16, 18 Απριλίου): Λύση ασκήσεων των φυλλαδίων 1-4.

11η Εβδομάδα (23, 24 Απριλίου): θεώρημα επαναφοράς Furstenberg-Sarkozy για την ακολουθία τετραγώνων, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης, κατά σημείο εργοδικό θεώρημα Brikhoff (μέρος Ι) (μέρος από τις παραγράφους 2.6.4, 7.4 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward). Η πρώτη απόδειξη του θεωρήματος Birkhoff εδώ. H εικασία εργοδικότητας των Boltzmann-Sinai εδώ.

12η Εβδομάδα (7, 9 Μαϊου): Κατά σημείο εργοδικό θεώρημα Brikhoff (μέρος ΙΙ), εφαρμογές εργοδικού θεωρήματος: ισοκατανομή τροχιών σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, κανονικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών για στάσιμες στοχαστικές ανελίξεις, strong mixing, ισοδύναμοι ορισμοί και παραδείγματα (επιμορφισμοί στον τόρο, Bernoulli shifts) (μέρος από τις παραγράφους 2.6.1, 2.6.2, 2.6.5, 2.7, 2.8, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.6, 1.7 από το βιβλίο του Walters, για πιθανοθεωρητικές εφαρμογές κοιτάξτε στο κεφάλαιο VI του Shiryaev (Probability)).

13η Εβδομάδα (14, 15, 16 Μαϊου): Weak mixing, ισοδύναμοι ορισμοί, σύγκλιση κατά πυκνότητα και σχέση με weak mixing, εργοδικότητα καρτεσιανού γινομένου, xαρακτηρισμός συστημάτων weak mixing (θεώρημα Koopman-von Neumann), θεώρημα πολλαπλής επαναφοράς και σύγκλισης για weak mixing συστήματα, ασκήσεις από φυλλάδια 4-6 (μέρος από τις παραγράφους 2.1, 2.8.1, 7.5.2, από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.7 από το βιβλίο του Walters).

Φυλλάδια Ασκήσεων