SymmetriesOnVerticesEven2

1. Συμμετρίες στις κορυφές συμμετρικών πολυγώνων

Συμμετρικά πολύγωνα έχουν άρτιο πλήθος κορυφών Ν. Διακρίνω δύο περιπτώσεις Ν = 4k και Ν = 2k (με k περιττό).
Το ABCDEFGH είναι πολύγωνο (οκτάγωνο) συμμετρικό ως προς X (κέντρο συμμετρίας).
Έστω I αυθαίρετο σημείο και J, K, L, ... τα διαδοχικά συμμετρικά του ως προς τις κορυφές του δοθέντος πολυγώνου.
[1] Το τετράπλευρο IΚΜΟ είναι παραλληλόγραμμο με σταθερά μέτρα γωνιών και πλευρών, ανεξάρτητα της θέσης του Ι. Το αντίστοιχο παραλληλόγραμμο Ι'Κ'Μ'Ο' γιά μιά άλλη θέση Ι' του Ι προκύπτει μετατοπίζοντας το ΙΚΜΟ κατά το διάνυσμα ΙΙ'.
[2] Tο τελευταίο σημείο (P) έχει συμμετρικό το αρχικό σημείο I. Έτσι το πολύγωνο p = IJKLMNOP του I και των συμμετρικών του στις κορυφές A, B, C, ...etc. είναι κλειστό (μη-συμμετρικό εν γένει).
[3] Tο πολύγωνο IJKLMNOP είναι συμμετρικό τότε και μόνον όταν το κέντρο του παραλληλογράμμου ΙΚLO συμπίπτει με το κέντρο Χ του αρχικού πολυγώνου. Υπάρχει μία ακριβώς θέση του Ι γιά την οποία το προκύπτον πολύγωνο p είναι συμμετρικό.
[4] Πολύγωνα με Ν=4k πλήθος κορυφών έχουν επίσης την ιδιότητα [2], δηλαδή οι κορυφές τους είναι μέσα πλευρών απείρου πλήθους πολυγώνων p=IJK... κάθε ένα από τα οποία καθορίζεται πλήρως από μία κορυφή του.

Το πολύγωνο p = IJKL... είναι λύση του επωνομαζόμενου Προβλήματος του Carnot (δες Πρόβλημα του Carnot).
H ιδιότητα [1] ισχύει λόγω της ισότητας και παραλληλίας των {ΑΒ, EF} διότι οι {IK, MO} είναι αντίστοιχα διπλάσιες αυτών. Αυτό δείχνει ότι η σύνθεση των μεταφορών που προκύπτουν από δύο διαδοχικές συμμετρίες είναι μηδενική μεταφορά, αφού η σύνθεση αυτή ισούται με την μεταφορά ΙΚ+ΚΜ+ΜΟ+ΟΙ.
Το [2] είναι συνέπεια του [1] και το [4] αποδεικνύεται με ανάλογο τρόπο, αφού και σ' αυτήν την περίπτωση οι μεταφορές λόγω της ισότητας και παραλληλίας των απέναντι πλευρών σχηματίζουν ένα συμμετρικό κλειστό 2k-γωνο (ικανοποιείται αυτόματα το κριτήριο ύπαρξης λύσεων γιά πολύγωνα αρτίου πλήθους πλευρών που αναλύεται στο Πρόβλημα του Carnot ).
To [3] προκύπτει από το ότι το p είναι συμμετρικό τότε και μόνον όταν τα τρίγωνα {ΙΚJ, MON} είναι συμμετρικά ως προς σημείο Χ', οπότε και τα {ABJ, ENF} θα είναι συμμετρικά ως προς Χ' και συνεπώς το κέντρο συμμετρίας Χ' θα συμπίπτει με το Χ. Επειδή το ΙΚΜΟ έχει σταθερό σχήμα το Ι καθορίζεται πλήρως όταν αυτό το παραλληλόγραμμο μετατοπίζεται παράλληλα έτσι ώστε το κέντρο του (σημείο τομής διαγωνίων) να συμπέσει με το Χ.

Tο επόμενο σχήμα δείχνει άλλη μία παρόμοια περίπτωση Ν=12=4*3, στην οποία φαίνεται:
α) Το αρχικό πολύγωνο Α₁...Α₁₂,
β) το πολύγωνο p = Β₁...Β₁₂ που έχει μέσα πλευρών τα {A_i},
γ) το (συμμετρικό) πολύγωνο των μεταφορών Β₁Β₃Β₅Β₇Β₉Β₁₁ που αντιστοιχεί στο προηγούμενο παραλ/μο ΙΚΜΟ.
Διατυπώνω το γενικό συμπέρασμα υπό μορφήν θεωρήματος.

Θεώρημα-1 Γιά κάθε συμμετρικό ως προς κέντρο Χ πολύγωνο p₀ = Α₁...Α_Ν, με Ν=4k ισχύουν οι ιδιότητες:
[1] Γιά κάθε σημείο Β₁ του επιπέδου υπάρχει ένα ακριβώς πολύγωνο p = B₁...B_N που έχει μέσα πλευρών τις κορυφές του p₀.
[2] Υπάρχει μία ακριβώς θέση του B₁ γιά την οποία το προκύπτον πολύγωνο p είναι συμμετρικό. Το κέντρο συμμετρίας του p συμπίπτει με το Χ.

2. Η περίπτωση Ν=2k (k περιττός)

Το επόμενο σχήμα δείχνει ότι στην περίπτωση που το αρχικό συμμετρικό πολύγωνο p₀ = Α₁...Α_Ν έχει Ν=2k, με k περιττό, το θεώρημα δεν ισχύει εν γένει. Ξεκινώντας από αυθαίρετο σημείο B₁ και παίρνοντας τα συμμετρικά του ως προς διαδοχικές κορυφές του p₀, κατασκευάζεται εν γένει ένα μη-κλειστό πολύγωνο p = B₁B₂...B_N+1. Το B_N+1 δεν συμπίπτει εν γένει με το B₁.
Οι επόμενες ιδιότητες αποδεικνύονται εύκολα.

[1] Το διάνυσμα v = B_N+1B₁ είναι η εν γένει μη-μηδενικού μήκους πλευρά που κλείνει το πολύγωνο των μεταφορών
q = Β₁Β₃...Β_Ν+1.
[2] Tο πολύγωνο αυτό είναι ανεξάρτητο της θέσης του B₁ και γιά δύο διαφορετικές θέσεις {Β, Β'} αυτού του σημείου τα αντίστοιχα πολύγωνα {q,q'} προκύπτουν το ένα από το άλλο μέσω της μεταφοράς ΒΒ'.
[3] Tο πολύγωνο των μεταφορών q (πράσινο στο σχήμα) είναι όμοιο προς το πολύγωνο q₀ (μπλε στο σχήμα) που έχει ως πλευρές τις παράλληλες μεταφορές των πλευρών περιττής τάξης (1η, 3η, 5η, κτλ...) του p₀. Tο πολύγωνο αυτό μπορεί να κατασκευασθεί επί της πλευράς A₁A₂ του p₀ και είναι τότε ομοιόθετο του q ως προς κέντρο το B₂ και λόγο ομοιότητας 1/2.
[4] Το p είναι κλειστό τότε και μόνον, όταν η κορυφή Υ του q₀ που είναι η ομοιόθετη της B_k+2 του πολυγώνου p συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας του p₀.

Γιά τον τελευταίο ισχυρισμό χρειάζεται ένας μικρός λογαριασμός. Αυτός μπορεί να γίνει γιά την γενική περίπτωση, ωστόσο εδώ τον κάνω γιά την περίπτωση του προηγουμένου σχήματος (Ν=10, k=5).
Έστω Ζ το ομοιόθετο του Β₁₁. Η συμμετρία ως προς Ζ που συμβολίζω με το ίδιο γράμμα Ζ ισούται με την σύνθεση
Ζ = T_v*Α₁ = (Α₁₀*...*Α₁)*Α₁ = (Α₁₀*Α₉*Α₈*Α₇)*Α₆*(Α₅*Α₄*Α₃*Α₂). (*)
Και εδώ συμβολίζω με το ίδιο γράμμα Α_i την συμμετρία ως προς Α_i ενώ Τ_v συμβολίζει την μεταφορά κατά v. Λόγω της συμμετρίας του p₀ οι παρενθέσεις είναι δύο μεταφορές αντίθετης φοράς, δηλαδή μία μεταφορά και η αντίστροφή της. Συνεπώς ο (*) λέει ότι οι συμμετρίες Ζ και Α₆ είναι συζυγής ως προς την μεταφορά (Α₁₀*Α₉*Α₈*Α₇) που εκφράζεται με το διάνυσμα Β₇Β₁₁. Αυτό σημαίνει ότι το Β₆Β₇Β₁₁Β₂ είναι παραλληλόγραμμο, όπως παραλληλόγραμμο είναι και το ΖΒ₂Α₆Β₇ αφού τα {Ζ, Α₆} είναι μέσα των πλευρών {Β₂Β₁₁, Β₆Β₇} αντίστοιχα. Άρα το Υ είναι το μέσον της ΖΑ₆.
Καθώς το κέντρο συμμετρίας Χ του p₀ είναι και μέσον της Α₁Α₆ έπεται ότι το ΥΧ είναι το ήμισυ του ΖΑ₁ που είναι το ήμισυ του B₁₁B₁. Από αυτό έπεται αμέσως και ο ισχυρισμός στο [4].

Πόρισμα Το μέσον Μ του v=B₁B₁₁ είναι το συμμετρικό του Β₆ ως προς το κέντρο συμμετρίας Χ.
Πράγματι, κατά τα προηγηθέντα τα Β₁Μ και Β₆Α₆ θα είναι παράλληλα άρα η Β₆Μ και η Α₁Α₆ θα διχοτομούνται στο μέσον της τελευταίας που είναι το Χ.
Συνοψίζω τα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου σε ένα θεώρημα.

Θεώρημα-2 Γιά κάθε συμμετρικό ως προς κέντρο Χ πολύγωνο p₀ = Α₁...Α_Ν, με Ν=2k, και k περιττό ισχύουν οι ιδιότητες:
[1] Η σύνθεση των συμμετριών ως προς τις διαδοχικές κορυφές του p₀ είναι εν γένει μιά μη-μηδενική μεταφορά:
T_v = A_N* ... * A₁.
Ισοδύναμα, τα πολύγωνα p=B₁...B_N+1 που προκύπτουν από αυθαίρετο B₁ και τα συμμετρικά του ως προς διαδοχικές κορυφές του p₀ ορίζουν διάνυσμα v = B₁B_N+1 εν γένει μη-μηδενικό.
[2] To διάνυσμα v = Β₁Β_N+1 = 0, δηλαδή το πολύγωνο p είναι κλειστό τότε και μόνον όταν τα {B₂, B_k+2} είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο συμμετρίας Χ του p₀.
[3] Εάν το διάνυσμα v = Β₁Β_N+1 = 0 γιά μιά θέση του Β₁ τότε αυτό θα συμβαίνει γιά κάθε θέση του Β₁. Δηλαδή αν υπάρχει ένα πολύγωνο p=B₁...B_N+1 κλειστό τότε όλα θα είναι κλειστά.
[4] Το προηγούμενο διάνυσμα v=0 τότε και μόνον όταν το πολύγωνο q₀ που έχει ως πλευρές τις παράλληλες μεταφορές των πλευρών περιττής τάξης (1η, 3η, 5η, κτλ...) του p₀ είναι κλειστό.
[5] Το πολύγωνο q₀ είναι κλειστό τότε και μόνον όταν και το πολύγωνο q₁ που έχει ως πλευρές τις παράλληλες μεταφορές των πλευρών άρτιας τάξης (2η, 4η, 6η, κτλ.) του p₀ είναι κλειστό.

Το προηγούμενο σχήμα δείχνει τα δύο πολύγωνα q₀ και ένα ομοιόθετο του q₁ στην περίπτωση συμμετρικού δεκαγώνου. Όπως εύκολα αποδεικνύεται ακόμη και στην γενική περίπτωση οι μεταφορές v και Β₂W είναι αντίθετα διανύσματα: v + B₂W = 0.

3. Χαρακτηρισμός των πολυγώνων του θεωρήματος-2

Τα πολύγωνα p₀ με Ν=2k πλευρές που ικανοποιούν μιά (και συνεπώς όλες) από τις συνθήκες [2-5] προκύπτουν από το αντίστοιχο κλειστό πολύγωνο q₀ κατασκευάζοντας παραλληλόγραμμα στις πλευρές τους (δες Πρόβλημα του Carnot ).

H ιδιότητα αυτή είναι προφανής. Αρκεί να πάρει κανείς αυθαίρετα σημείο Q₁ και να φέρει διαδοχικά παράλληλες προς τις πλευρές περιττής τάξεως του p₀. Δημιουργείται τότε ένα, εν γένει μη-κλειστό, πολύγωνο q₀ καθώς και παραλληλόγραμμα με απέναντι πλευρές στo q₀ και p₀ αντίστοιχα.

Δείτε ακόμη

Πρόβλημα του Carnot
Γενικευμένο πρόβλημα του Carnot
Συμμετρίες στις κορυφές (περιττές)
Συμμετρία ως προς σημείο

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/