SymmetriesOnVerticesOdd

Επάλληλες συμμετρίες στις κορυφές πολυγώνου

Δοθέντος πολυγώνου p₀ = Α₀...Α_Ν με περιττό αριθμό πλευρών (N=2k+1), υπάρχει ένα ακριβώς πολύγωνο p = B₁...B_N που έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του p₀.

To πρόβλημα είναι ειδική περίπτωση του προβλήματος του Carnot (δες Πρόβλημα του Carnot ).
Αν το p = B₁...B_N λύνει το πρόβλημα τότε οι διαδοχικές συμμετρίες ως προς τις κορυφές {Α₁, Α₂, ..., Α_Ν} θα παραλαμβάνουν το Β₁ και θα το απεικονίζουν διαδοχικά στις διάφορες κορυφές του p γιά να καταλλήξουν πάλι στο B₁. Mε άλλα λόγια το B₁ θα είναι σταθερό σημείο της απεικόνισης που είναι η σύνθεση των συμμετριών ως προς τις κορυφές του p₀.
Το κλειδί τώρα είναι ότι ένας περιττός αριθμός συμμετριών ως προς σημείο δίνει μια σύνθεση που είναι πάλι συμμετρία ως προς σημείο. Έτσι για τέτοια πολύγωνα υπάρχει ένα ακριβώς σημείο (F) για το οποίο το προκύπτον απο διαδοχικές συμμετρίες πολύγωνο B₁=F, B₂, ... είναι κλειστό.
Γιά πολύγωνα άρτιου αριθμού πλευρών, το ανάλογο πρόβλημα δέχεται ή καμία ή άπειρες λύσεις (δες Πρόβλημα του Carnot ).

Δείτε ακόμη

Πρόβλημα του Carnot
Γενικευμένο πρόβλημα του Carnot
Συμμετρίες στις κορυφές (άρτιες)
Συμμετρία ως προς σημείο

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/