MedianTriangle

1. Τρίγωνο των διαμέσων

Το τρίγωνο των διαμέσων του τριγώνου ABC είναι το τρίγωνο που σχηματίζεται φέρνοντας διαδοχικά ίσα και παράλληλα τμήματα προς τις διαμέσους του ABC.
Στο σχήμα παρακάτω ξεκινώ από το B και την διάμεσο BD και φέρω DE, EB παράλληλες προς τις άλλες διαμέσους του τριγώνου.

Οι επόμενες ιδιότητες είναι εύκολες συνέπειες του ορισμού.
[1] Οι διάμεσοι του τριγώνου των διαμέσων είναι παράλληλες και ίσες με 3/4 των αντιστοίχων πλευρών του αρχικού τριγώνου.
[2] Το εμβαδόν του τριγώνου των διαμέσων είναι 3/4 του εμβαδού του αρχικού τριγώνου.
[3] Το τρίγωνο των διαμέσων του τριγώνου των διαμέσων είναι όμοιο του αρχικού τριγώνου.
[4] Το τρίγωνο των διαμέσων είναι όμοιο του τριγώνου FGH που προκύπτει φέρνοντας κάθετες στις διαμέσους από τις κορυφές του ABC. Γιά τον λόγο αυτής της ομοιότητας δες παρακάτω την τέταρτη παράγραφο.
[5] Το κέντρο βάρους Ι του ABC είναι το συμμετροδιάμεσο σημείο του τριγώνου FGH.

Γιά την τελευταία σημειώνω ότι οι αποστάσεις του Ι από τις πλευρές {FH, FG} είναι τα 2/3 των διαμέσων του ABC που είναι ανάλογες προς τις πλευρές αυτές. Το [5] συνεπάγεται αμέσως:

Πόρισμα-1 Το ποδικό τρίγωνο του συμμετροδιαμέσου σημείου K του τριγώνου ABC είναι όμοιο προς το τρίγωνο των διαμέσων του ABC. Επειδή το κυκλοσεβιανό είναι όμοιο του ποδικού τριγώνου έχουμε επίσης:

Πόρισμα-2 Το επισυμμετροδιάμεσο τρίγωνο του τριγώνου ABC είναι όμοιο προς το τρίγωνο των διαμέσων του ABC.

2. Το τρίγωνο των διαμέσων και το σχήμα Vecten

Δοθέντος τριγώνου ABC, το σχήμα Vecten του τριγώνου είναι αυτό που προκύπτει υψώνοντας τετράγωνα (προς τα έξω) στις πλευρές του (τούτο εξετάζεται στο Σχήμα του Vecten ). Αποδεικνύεται ότι οι πτέρυγες που είναι τα τρίγωνα {ADI, GHC, EBF} έχουν τις εξωτερικές πλευρές τους ίσες με το διπλάσιο και ορθογώνιες προς τις αντίστοιχες διαμέσους του τριγώνου (π.χ. η GH είναι διπλάσια και ορθογώνια προς την MC). Επιπλέον οι πτέρυγες έχουν το ίδιο εμβαδόν με το τρίγωνο ABC.

Συνεπώς, εάν συγκοληθούν οι πτέρυγες κατά μήκος των ίσων πλευρών τους (όπως στο παραπάνω τρίγωνο ED-FG-HI) σχηματίζουν ένα άλλο τρίγωνο όμοιο του τριγώνου των διαμέσων. Το τρίγωνο των διαμέσων είναι επίσης όμοιο του τριγώνου DEF του επομένου σχήματος, που προκύπτει προεκτείνοντας τις εξωτερικές πλευρές των πτερύγων. Λόγω της ιδιότητας 1.3 επαναλαμβάνοντας την διαδικασία των πτερύγων και παίρνοντας πάλι τις εξωτερικές πλευρές τους ορίζουμε τρίγωνο GHI (όπως στο επόμενο σχήμα), που είναι όμοιο του αρχικού τριγώνου ABC.

Πράγματι, οι ιδιότητες της πρώτης παραγράφου συνεπάγονται ότι τα τρίγωνα {ABC, DEF} είναι ομοιόθετα. Ο λόγος ομοιότητός τους υπολογίζεται παρακάτω στην τελευταία παράγραφο.

3. Τρίγωνο διαμέσων ισο-brocard του ABC

Η γωνία Brocard τριγώνου εξετάζεται στο Γωνία του Brocard . Η γωνία αυτή (ω) ικανοποιεί την εξίσωση
cot(ω) = (a²+b²+c²)/(4D), όπου D το εμβαδόν του ABC. Έτσι η γωνία Brocard συνδέεται φυσιολογικά με το σχήμα Vecten αφού το cot(ω) εκφράζεται σαν πηλίκον αθροισμάτων (εμβαδών) των τετραγώνων προς το άθροισμα των τριγώνων. Αντικαθιστώντας σε αυτό το άθροισμα τα τετράγωνα με τα τετράγωνα των διαμέσων, που δίδονται από τον τύπο:
m_a² = (1/4)(b² + c² ₂bccos(A))
και τις κυκλικές μεταθέσεις των γραμμάτων,
και εκφράζοντας τα μήκη μέσω των τετραγώνων των πλευρών ευρίσκουμε:
m_a² + m_b² + m_c² = (3/4)(a² + b² + c²)
και συνεπώς (δες επίσης 1.2) η γωνία Brocard του τριγώνου των διαμέσων συμπίπτει με αυτήν του αρχικού τριγώνου. Τέτοια τρίγωνα λέγονται ισο-Brocardian.

4. Εμφάνιση της γωνίας Brocard

Οι λόγοι ομοιότητας των διαφόρων περιπτώσεων που συζητήθηκαν παραπάνω περιέχουν όλοι την γωνία Brocard του τριγώνου αναφοράς ABC. Ας ξεκινήσουμε με το εμβαδόν του τριγώνου FGH της πρώτης παραγράφου. Τούτο είναι άθροισμα των εμβαδών των {IFG, IGH, IHF}. Ένα τέτοιο τυπικό εμβαδόν είναι (1/2)GH*IC = (1/3)m_c*c', άρα
ε(FGH) = (1/3)(m_a*a' + m_b*b' + m_c*c') , (1)
όπου (m_i) οι διάμεσοι του ABC και {a',b',c'} οι αντίστοιχες ορθογώνιες προς αυτές πλευρές του FGH.
Έστω τώρα k ο λόγος ομοιότητας του FGH προς το τρίγωνο διαμέσων BDE. Τότε
k² = ε(FGH)/ε(BDE), και a'=km_a, b'=km_b, c'=km_c. (2)
Εισάγοντας αυτά στο (1) παίρνουμε
ε(FGH) = (1/3)(m_a² + m_b² + m_c²)*k = k²* ε(BDE) =>
k = (1/3)(m_a² + m_b² + m_c²)/ε(BDE) =>
k = (4/3)cot(ω), (3)
όπου (ω) η γωνία Brocard του τριγώνου αναφοράς ABC (ίδια με την γωνία Brocard του BDE).
Από αυτό και το γεγονός ότι ε(ABC) = (4/3)ε(BDE) έπεται ότι
ε(FGH)/ε(ABC) = (4/3)*cot²(ω). (4)

Από αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του DEF του τελευταίου σχήματος καθώς και τον λόγο του προς το εμβαδόν του ABC. Πράγματι, το DEF έχει εμβαδόν συναποτελούμενο από τα τετράγωνα (a² + b² + c²), τέσσερες φορές το ε(ABC) και το άθροισμα (S) των τριγώνων που απομένουν, τα οποία, εάν μετατοπισθούν παράλληλα προς εαυτά ώστε μία πλευρά τους να συμπέσει με αντίστοιχη του ABC, σχηματίζουν το τρίγωνο FGH του πρώτου σχήματος μείον το κεντρικό τρίγωνο ABC. Συνεπώς
S = ε(FGH) - ε(ABC) = ((4/3)*cot²(ω)-1)*ε(ABC), και από αυτό
ε(DEF)/ε(ABC) = (4/3)*cot²(ω) + 4*cot(ω) + 3 (5).
Επειδή το GHI του τελευταίου σχήματος κατασκευάζεται από το DEF με τον ίδιο τρόπο που το τελευταίο κατασκευάζεται από το ABC, έπεται ότι ο ίδιος αριθμός δίδει τον λόγο των εμβαδών του GHI προς το ABC.

Δείτε ακόμη

Γωνία Brocard
Vecten σχήμα τριγώνου
Επισυμμετροδιάμεσο τρίγωνο
Κυκλοσεβιανό τρίγωνο
Ποδικό τρίγωνο

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/