RotatingSides

Περιστρέφοντας τις πλευρές τριγώνου περί τα μέσα τους

Περίστρεψε τις πλευρές τριγώνου t = (ABC) περί τα μέσα τους κατά γωνία φ.
Επεκτείνοντας τις περιεστραμμένες πλευρές και παίρνοντας τομές, ορίζεται νέο τρίγωνο s = (GHI), όμοιο του t. Καθώς μεταβάλλεται η γωνία φ, το τρίγωνο s παίρνει διάφορες θέσεις και ισχύουν τα ακόλουθα:
[1] Οι κορυφές G, H και I του s κινούνται αντίστοιχα σε τρεις ίσους σταθερούς κύκλους c1, c2 και c3, εφαπτόμενους στον περίκυκλο c του t, αντίστοιχα στα σημεία A, B, C και διερχόμενοι διά του κέντρου O του c.
[2] Ο περίκυκλος d του s είναι συγκεντρικός του c.
[3] Τα ευθύγραμμα τμήματα AG, BH, CI είναι ίσα κατά το μήκος και εφαπτόμενα του d.
[4] Οι κορυφές L, M και N, του 2ου τριγώνου του Brocard u του t, συμπίπτουν με τα δεύτερα σημεία τομής του κύκλου Brocard e με τους τρεις κύκλους c1, c2 και c3 του [1].
[5] Οι συμμετροδιάμεσοι του s περνούν, πάντοτε, από τις κορυφές του 2ου τριγώνου του Brocard u του t.
[6] Το συμμετροδιάμεσο σημείο P του τριγώνου s, περιγράφει τον κύκλο Brocard e του τριγώνου t.

Οι αποδείξεις στηρίζονται στις επόμενες παρατηρήσεις και την γνωστή πρόταση, γιά την μεταβολή όμοιων σχημάτων, που αναφέρεται στο βιβλίο του Yaglom:
[0] Εάν το σχήμα F κινήται εις τρόπον ώστε, σε όλες τις θέσεις του να είναι όμοιο προς την αρχική θέση του και έτσι ώστε τρεις ευθείες l, m και n του F, μη συντρέχουσες σε κοινό σημείο, να διέρχονται πάντοτε από τρία σταθερά σημεία, τότε κάθε ευθεία του F διέρχεται πάντοτε από σταθερό σημείο και κάθε σημείο του F διαγράφει έναν κύκλο.
[1] Το τετράπλευρο EFCI είναι κυκλικό και ο c3 είναι εφαπτόμενος του περικύκλου c του ABC και διέρχεται από το κέντρο του O. Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν γιά τα τετράπλευρα DBHE και DGAF. Οι c1, c2, c3 είναι οι κύκλοι που αναφέρονται στο (0) και διαγράφονται κατά την κίνηση των σημείων G, H, I, καθώς το s αλλάσσει συμμεταβαλόμενο με την φ. Χρησιμοποιόντας την ισότητα των ακτίνων αυτών των κύκλων και την ισότητα των γωνιών (ίσες με φ) στα D, E και F, βλέπου την ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων CI, BH και AG. Μιά συνέπεια είναι επίσης ότι οι OI, OH και OG είναι ίσες και ορθογώνιες προς τις προηγούμενες αντίστοιχα. Τούτο δείχνει ότι ο περίκυκλος d του GHI είναι συγκεντρικός του ABC και ότι οι CI, BH, AG είναι εφαπτόμενες του d. Αυτά αποδεικνύουν τα [1], [2] και [3].

[2] Η συμμετροδιάμεσος CK τέμνει τον κύκλο του Brocard στο M και το OM είναι ορθογώνιο στο CK (το M βλέπει την διάμετρο OK υπό ορθή γωνία). Έτσι το M είναι το μέσον της συμμετροδιαμέσου, που οράται ως χορδή του κύκλου c. Αυτό δείχνει ότι το R είναι το άλλο από το O σημείο τομής του c με τον c3. Η γωνία EIM ούσα σταθερά (γιά κάθε φ) η συμμετροδιάμεσος PI, όλων των τριγώνων s διέρχεται συνεχώς από το M.
Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν γιά τις άλλες συμμετροδιαμέσους PN, PL του μεταβαλλόμενου τριγώνου s. Από την άλλη μεριά το P, που βλέπει την MN υπό σταθερή γωνία κινήται στον κύκλο του Brocard. Ο κύκλος του Brocard είναι αυτός που αναφέρεται στο [0] και περιγράφεται από το συμμετροδιάμεσο σημείο Ρ του s, καθώς μεταβάλλεται το φ.
Γιά την συνέχεια της συζήτησης δείτε το έγγραφο: Περιστρέφοντας τις πλευρές (ΙΙ) .

Δείτε ακόμη

Περιστρέφοντας τις πλευρές (ΙΙ)
Ριζικός άξων
Σημεία του Brocard
Δεύτερο τρίγωνο του Brocard

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations Vol. II Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962, p. 72

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/