RotatingSides2

Περιστρέφοντας τις πλευρές τριγώνου περί τα μέσα τους (ΙΙ)

Εδώ συνεχίζουμε την συζήτηση που ξεκίνησε στο Περιστρέφοντας τις πλευρές .
Περίστρεψε τις πλευρές τριγώνου t = (ABC) περί τα μέσα τους κατά γωνία φ. Επεκτείνοντας τις περιεστραμμένες πλευρές και παίρνοντας τομές, ορίζεται νέο τρίγωνο s = (GHI), όμοιο του t.
Καθώς μεταβάλλεται η γωνία φ, το τρίγωνο s παίρνει διάφορες θέσεις και ισχύουν τα ακόλουθα:
[1] Όταν η φ ισούται με την γωνία Brocard ω του τριγώνου t, ή την -ω, τότε το αντίστοιχο σημείο P του s συμπίπτει με το ένα ή το άλλο σημείο του Brocard του t.
[2] Οι περίκυκλοι d1, d2, d3 των τριγώνων GAI, HBG και HCI αντίστοιχα, έχουν ριζικό άξονα συμπίπτοντα με τις συμμετροδιαμέσους του τριγώνου s. Συνεπώς το ριζικό τους κέντρο συμπίπτει με το συμμετροδιάμεσο σημείο P of s.
[3] Το 2ο τρίγωνο του Brocard του t είναι όμοιο προς το τρίγωνο των κέντρων των κύκλων d1, d2 και d3 του [2].

Η συζήτηση στην προηγούμενη αναφορά, δείχνει ότι το τρίγωνο s = GHI είναι όμοιο του t = ABC, μέσω ομοιότητος με κέντρο στο περίκεντρο O του t και λόγο ίσο προς cos(φ). Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισμό.
Ο δεύτερος, περί ριζικού άξονος, στηρίζεται στην πρόταση που αποδεικνύεται στο Συμμετροδιαμέσου ιδιότητα .
Ταυτίζοντας τις συμμετροδιαμέσους με τους ριζικούς άξονες, το τρίγωνο των κέντρων d1, d2, d3 είναι όμοιο του 2ου τριγώνου του Brocard, λόγω του ότι οι πλευρές του είναι κάθετες αντίστοιχα προς τις συμμετροδιαμέσους.
Η συζήτηση συνεχίζεται στο Περιστρέφοντας τις πλευρές (ΙΙΙ) , όπου αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο RST είναι ομοθετικό του [επισυμμετροδιάμεσου] τριγώνο του GHI, το οποίο είναι όμοιο του επισυμμετροδιάμεσου τριγώνου του t.

Δείτε ακόμη

Περιστρέφοντας τις πλευρές
Περιστρέφοντας τις πλευρές (ΙΙΙ)
Συμμετροδιαμέσου ιδιότητα
Ριζικός άξων
Σημεία του Brocard
Δεύτερο τρίγωνο του Brocard

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations Vol. II Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962, p. 72

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/