RotatingSides3

Περιστρέφοντας τις πλευρές τριγώνου περί τα μέσα τους (3)

Εδώ συνεχίζουμε την συζήτηση που περιέχεται στο Περιστρέφοντας τις πλευρές (ΙΙ) .
Περίστρεψε τις πλευρές τριγώνου t = (ABC) περί τα μέσα τους κατά γωνία φ. Επεκτείνοντας τις περιεστραμμένες πλευρές και παίρνοντας τομές, ορίζεται νέο τρίγωνο s = (GHI), όμοιο του t. Καθώς μεταβάλλεται η γωνία φ, το τρίγωνο s παίρνει διάφορες θέσεις και ισχύουν τα ακόλουθα:
[1] Οι περίκυκλοι d1, d2, d3 των τριγώνων GAI, HBG και HCI αντίστοιχα, έχουν ριζικό άξονα συμπίπτοντα με τις συμμετροδιαμέσους του τριγώνου s. Συνεπώς το ριζικό τους κέντρο συμπίπτει με το συμμετροδιάμεσο σημείο P of s.
[2] Οι τομές οι διαφορετικές των κορυφών του GHI των τριών κύκλων d1, d2, d3 σχηματίζουν τρίγωνο u = RST, όμοιο του επισυμμετροδιάμεσου τριγώνου του t.

Το πρώτο αποδείχτηκε στην προηγούμενη αναφορά. Έχοντας ταυτίσει τις συμμετροδιαμέσους με τους ριζικούς άξονες, το σημείο P (συμμετροδιάμεσο σημείο του περιστρεφομένου τριγώνου s) είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων d1, d2, d3. Τότε ισχύει PS*PG =PH*PT => (PS/PT) = (PH/PG) = (PX/PV). Πού δείχνει ότι η ST είναι παράλληλος της XV, που είναι πλευρά του επισυμμετροδιαμέσου τριγώνου VWX του GHI. Τούτο συμπληρώνει την απόδειξη. Δες το Επισυμμετροδιάμεσο τρίγωνο γιά μιά εικόνα του επισυμμετροδιάμεσου τριγώνου.

Δείτε ακόμη

Περιστρέφοντας τις πλευρές
Περιστρέφοντας τις πλευρές (ΙΙ)
Επισυμμετροδιάμεσο τρίγωνο
Ριζικός άξων

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations Vol. II Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962, p. 72

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/