Vecten_tiles

1. Πλέγμα του Vecten

Συνέχεια μιάς ιστορίας που άρχισε από το Σχήμα του Vecten και συνεχίστηκε μέχρι το Σχήμα του Vecten (V) .
Συγκολλώντας αντίγραφα σχημάτων Vecten ενός τριγώνου ABC σχηματίζεται ένα πλέγμα. Οι επόμενες παρατηρήσεις αφορούν σε ιδιότητες αυτού του πλέγματος.

[1] Το τρίγωνο Vecten A₂B₂C₂ του τριγώνου ABC έχει ορθόκεντρο το σημείο Vecten V και πλευρές B₂C₂ = AA₂, C₂A₂ = BB₂, A₂B₂ = CC₂ (δες Σχήμα του Vecten και Σχήμα του Vecten (II) ).
[2] Θεωρούμε την συμμετρία ως προς το κέντρο A₂ ενός τετραγώνου του σχήματος Vecten και παίρνουμε το συμμετρικό όλου του σχήματος ως προς αυτό. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία με όλα τα τετράγωνα του βασικού τριγώνου καθώς και τα τετράγωνα που προκύπτουν από τις συμμετρίες αυτές δημιουργείται ένα πλέγμα που ονομάζω πλέγμα του Vecten του τριγώνου ABC.
[3] Το πλέγμα περιέχει εξαγωνικές τρύπες συμμετρικές ως προς κέντρο που ονομάζω εξάγωνα του πλέγματος . Οι διαγώνιοι αυτών των εξαγώνων το χωρίζουν σε τρίγωνα ισομετρικά του ABC.
[4] Το αντισυμπληρωματικό τρίγωνο A₁B₁C₁ του τριγώνου του Vecten A₂B₂C₂ του ABC έχει κορυφές κέντρα των εξαγώνων του πλέγματος.
[5] Το σημείο του Vecten V είναι το περίκεντρο του αντισυμπληρωματικού A₁B₁C₁ και τα συμμετρικά του V ως προς τις πλευρές του είναι σημεία Vecten άλλων τριγώνων του πλέγματος και ορίζουν τρίγωνο A'B'C' ισομετρικό του A₁B₁C₁ και με πλευρές παράλληλες προς αυτό. Από την κατασκευή του το A'B'C' είναι ομοιόθετο του τριγώνου Vecten A₂B₂C₂ με λόγο ομοιοθεσίας 2 και κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο του Vecten V.
[6] Τα σημεία Vecten των τριγώνων του πλέγματος γύρω από ένα εξάγωνο του πλέγματος περιέχονται σε κύκλο ίσο προς τον περίκυκλο του αντισυμπληρωματικού A₁B₁C₁. Επίσης σχηματίζουν εξάγωνο (h) συμμετρικό ως προς κέντρο του οποίου οι πλευρές ανά δύο απέναντι κείμενες είναι ίσες και παράλληλες προς τα διπλάσια των αποστάσεων του σημείου του Vecten από τις κορυφές του τριγώνου του Vecten.
[7] Το εγγεγραμμένο σε κύκλο συμμετρικό εξάγωνο (h) με κέντρα τα σημεία Vecten γύρω από ένα εξάγωνο του πλέγματος έχει ως μέσα των πλευρών του τα κέντρα των τετραγώνων γύρω από το εξάγωνο του πλέγματος. Το εξάγωνο (h') των μέσων των πλευρών του (h) είναι συμμετρικό ως προς το κέντρο του προηγουμένου κύκλου και οι πλευρές του ανά δύο απέναντι είναι ίσες και παράλληλες προς πλευράν του τριγώνου του Vecten.
[8] Ο λόγος των εμβαδών των δύο εξαγώνων είναι ε(h)/ε(h') = 4/3.

Το [1] αποδεικνύεται στο Σχήμα του Vecten (II) . Τα [2,3] είναι προφανή και το [4] συνέπεια του [1] και των βασικών ιδιοτήτων του σχήματος που παρατίθενται στο Σχήμα του Vecten . Ομοίως η [5] απορρέει από τον ορισμό του αντισυμπληρωματικού τριγώνου.
Γιά το [6] θεώρησε τον κύκλο που περνά από το ορθόκεντρο V του A'B'C' καθώς και τις κορυφές του {A',B'}. Ο κύκλος αυτός ισούται με τον περίκυκλο του A'B'C' και λόγω της συμμετρίας του σχήματος διέρχεται και από τα σημεία Vecten των τριγώνων που αναφέρθηκαν. Οι υπόλοιπες ιδιότητες που αναφέρονται στα [6,7] είναι συνέπειες των συμμετριών του σχήματος. Η [8] αποδεικνύεται από το ότι το εξάγωνο (h) διαχωρίζεται από τις ευθείες που ενώνουν τα μέσα των πλευρών του σε τετράπλευρα όπως το C₁B₂VA₂ που αθροιζόμενα δίδουν το διπλάσιο εμβαδόν του A₁B₁C₁. Επίσης το (h') διαιρείται από τις διαγωνίες του σε τρίγωνα ισομετρικά προς το A₂B₂C₂.

Παρατήρηση Αξίζει να σημειωθεί ότι ο λόγος του εμβαδού όλου του δακτυλίου m που αποτελείται από τα 6 τετράγωνα και τα 6 τρίγωνα προς το εμβαδόν του εξαγώνου n του πλέγματος δίδεται από την γωνία Brocard του τριγώνου και τον τύπο:
ε(m)/ε(n) = (4/3)cot(ω) + 1.
Τα σχετικά με την διασύνδεση Brocard - Vecten εκτίθενται στο Σχήμα του Vecten (III) .

2. Πλέγμα του Vecten, ο δεύτερος πυρήνας

Το πλέγμα Vecten έχει έναν δεύτερο πυρήνα (τρύπα) που σχηματίζεται από τα τετράγωνα γύρω από το βασικό τρίγωνο και 6 τρίγωνα ίσα με το βασικό όπως στο επόμενο σχήμα. Στο σχήμα αυτό εμφανίζονται και τα σημεία Vecten των τριγώνων, ισομετρικών προς το βασικό τρίγωνο ABC, τα οποία περιβάλλουν αυτό. Εμφανίζονται επίσης και τα κέντρα των τετραγώνων.

Από τις συμμετρίες του σχήματος έπεται ότι τα {D',E'} κείνται επί της B₁C₁ και συμμετρικά ως προς το μέσον της A₂. Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν και γιά τα σημεία Vecten των άλλων τριγώνων. Έτσι, εφαρμόζοντας το θεώρημα του Carnot γιά κωνικές τέμνουσες τις πλευρές τριγώνου, βλέπουμε ότι υπάρχει κωνική διερχόμενη και από τα 6 κέντρα Vecten αυτών των τριγώνων.

Δείτε ακόμη

Σχήμα Vecten
Σχήμα Vecten (II)
Σχήμα Vecten (III)
Σχήμα Vecten (IV)
Σχήμα Vecten (V)

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/