Vecten4

Σχήμα Vecten IV

(Συνέχεια από το Σχήμα του Vecten (III) ).
[1] Οι ευθείες {A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂} που ενώνουν τα μέσα των παραλλήλων πλευρών των ισοεμβαδικών τραπεζίων είναι παράλληλες προς τις διαμέσους του βασικού τριγώνου ABC, καθώς και τις διαμέσους του τριγώνου PRS που είναι ομοιόθετο του ABC.
[2] Ακριβέστερα, οι ευθείες {A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂} είναι συμμετρικές των διαμέσων του PRS ως προς το κέντρο βάρους W του ABC.
[3] Τα τρίγωνα είναι προοπτικά ως προς σημείο V', που είναι το συμμετρικό του κέντρου βάρους του PRS ως προς το κέντρο βάρους W του ABC.
[4] Τα σημεία {A₃, B₂, C₂} είναι συγγραμμικά (όπου {A₃, B₃, C₃} συμβολίζουν τα μέσα των πλευρών των πτερύγων).
[5] Τα τρίγωνα A₂B₂C₂ και A₃B₃C₃ έχουν το ίδιο κέντρο βάρους W με το ABC.

Από προηγούμενη ιδιότητα του σχήματος γνωρίζουμε ότι οι πλευρές {MN, ED} του τετραγώνου είναι παράλληλες και διπλάσιες της διαμέσου του ABC από το Β. Συνεπώς προεκτείνοντας τις {ED,FG} το τρίγωνο που σχηματίζεται DW'G είναι παράλληλη μεταφορά του BWC, όπου W το κέντρο βάρους του ABC.
Από αυτό έπεται ότι η A₁A₂ είναι παράλληλη της διαμέσου AW του ABC. Τούτο δείχνει το [1].
Γιά τα [2,3]: προεκτείνω τις {ON, IJ} και σχηματίζω το τρίγωνο P'OI. Το OAIP' είναι κυκλικό τετράπλευρο με δύο απέναντι γωνίες ορθές στα O και I. Από προηγούμενη ιδιότητα η ΑΑ₃ είναι παράλληλη και το μισό της BC=Α₁Α'. Όμως από γενικές ιδιότητες των τριγώνων (δες Κύκλος του Euler ) το συμμετρικό του A ως προς A₃ είναι το ορθόκεντρο H' του P'OI, ενώ το ύψος P'H' του P'OI είναι παράλληλο προς την διάμεσο του ABC. Άρα η συμμετρική της ευθείας A₁A₂ ως προς W είναι η διάμεσος του PRS που είναι ομοιόθετο του ABC.
Γιά το [4]: μεταφέρω παράλληλα τα {DA₂, CN} στα {B₃A₁, C'B₃}. Το τρίγωνο C'R'A₁ είναι όμοιο του ABC με λόγο ομοιότητας 2 και η R'B₃ είναι διάμεσός του. Άρα τα {C'B₃, B₃A₁} είναι ίσα και επομένως τα {CN, DA₂} ίσα και παράλληλα.
Το [5] προκύπτει από μιά γενική ιδιότητα των τριγώνων A*B*C* που προκύπτουν από ένα βασικό τρίγωνο ABC μέσω τριών μεταφορών {x,y,z} των αντιστοίχων κορυφών του {A,B,C} (δηλαδή A*=A+x, B*=B+y, C*=C+z). Τότε τα κέντρα βάρους των A*B*C* και ABC συμπίπτουν εφόσον ισχύει x+y+z=0 (τα ελεύθερα διανύσματα {x,y,z} είναι πλευρές τριγώνου, δες το Κέντρα Βάρους ).
Η συνθήκη αυτή ισχύει τόσο γιά το A₂B₂C₂ όσο και το A₃B₃C₃.

Δείτε ακόμη

Κύκλος του Euler
Σχήμα του Vecten
Σχήμα του Vecten (II)
Σχήμα του Vecten (III)
Σχήμα του Vecten (V)
Πλέγμα του Vecten
Κέντρα Βάρους

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/