Vecten2

1. Σχήμα Vecten II

(Συνέχεια από το Σχήμα του Vecten ) Στις πλευρές τριγώνου t=(ABC) υψώνουμε τετράγωνα.
[1] Το σημείο V είναι ριζικό κέντρο των περικύκλων των τριών τετραγώνων.
[2] Οι ευθείες AL, BM και CN, που ενώνουν τις κορυφές με τα κέντρα των απέναντι τετραγωνων, περνούν όλες από σημείο V. Το V είναι ορθόκεντρο του τριγώνου LMN.
[3] Ισχύει (JG² + FE² + DI²) = 3(AB² + BC² + CA²).

Το [1] αποδεικνύεται στον Σχήμα του Vecten . Το [2] είναι συνέπεια του [1]. Το [3] συνέπεια του νόμου συνημιτόνου εφαρμοζόμενου στο τρίγωνο FEC.

To σημείο V ονομάζεται σημείο του Vecten του τριγώνου ABC.
Το τρίγωνο LMN ονομάζεται τρίγωνο του Vecten του τριγώνου.
Το σημείο αυτό ευρίσκεται επί της ορθογωνίας υπερβολής του Kiepert του τριγώνου.
Η υπερβολή αυτή ορίζεται ως γεωμετρικός τόπος σημείων τομής τριών ευθειών {AA',BB',CC'}, όπου τα {A',B',C'} είναι κορυφές ομοίων ισοσκελών τριγώνων κατασκευαζομένων με βάσεις τις πλευρές του ABC. Tο V λαμβάνεται γιά ισοσκελή τρίγωνα με γωνία κορυφής μέτρου π/2.
Η υπερβολή αυτή, ως και κάθε ορθογώνια υπερβολή διερχόμενη διά των κορυφών του τριγώνου, διέρχεται επίσης από το ορθόκεντρο Η του τριγώνου.

2. Vecten και συμμετροδιάμεσο σημείο

[1] Τα τρίγωνα t'=(DEF) και t = (ABC) έχουν πλευρές παράλληλες άρα είναι ομοιόθετα.
[2] Το κέντρο ομοθεσίας K είναι το κοινό σημείο των συμμετροδιαμέσων του t.
[3] Οι συμμετροδιάμεσοι των δύο τριγώνων συμπίπτουν.

Το Α έχει αποστάσεις από τις πλευρές του DEF σε λόγο b/c που είναι και ο λόγος των πλευρών FE/FD. Αυτό δείχνει ότι η ευθεία FK έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου (δες [3] στο Συμμετροδιάμεσος ). Από αυτό απορρέουν οι ισχυρισμοί.

3. Προβλήματα

[1] Βρες τον λόγο ομοιοθεσίας των δύο τριγώνων (μιά συμμετρική παράσταση ως προς {a,b,c,A,B,C}.
[2] Δοθέντος του DEF κατασκεύασε το ABC.
[3] Τριγραμμικές συντεταγμένες των {D,E,F} ως προς τρίγωνο αναφοράς το ABC.

[4] Δοθέντος τριγώνου ABC και σημείου D θεώρησε όλα τα ομοιοθετικά τρίγωνα EFG του ABC ως προς κέντρο D. Πότε τα ορθογώνια που προκύπτουν προβάλλοντας τις πλευρές του EFG σε αυτές του ABC είναι όμοια μεταξύ τους; (Τότε και μόνον τότε όταν το D συμπίπτει με το συμμετροδιάμεσο σημείο K του τριγώνου. Όταν συμβαίνει αυτό τότε κάθε ομοιοθετικό EFG του ABC (ως προς D) έχει αυτήν την ιδιότητα).

Δείτε ακόμη

Σχήμα Vecten
Σχήμα Vecten (III)
Σχήμα Vecten (IV)
Σχήμα Vecten (V)
Πλέγμα του Vecten
Συμμετροδιάμεσος

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/