Vecten3

1. Σχήμα του Vecten - IIΙ

(Συνέχεια από το Σχήμα του Vecten (II) ) Στις πλευρές τριγώνου t=(ABC) υψώνουμε τετράγωνα όπως στο σχήμα. Τα τρίγωνα ADI, CHG, EBF είναι γνωστά ως πτέρυγες του τριγώνου ABC.
[1] Η προέκταση ΑΚ ενός ύψους AJ του τριγώνου ABC είναι διάμεσος της αντίστοιχης πτέρυγας ADI και έχει μήκος το ήμισυ της απέναντι πλευράς BC του τριγώνου.
[2] Η πλευρά GH της πτέρυγας CGH έχει μήκος διπλάσιο της αντίστοιχης διαμέσου CM του ABC. Ανάλογη σχέση ισχύει και γιά τις άλλες πτέρυγες και τις πλευρές τους που είναι απέναντι στις κορυφές του ABC.
[3] Το τρίγωνο FG-HI-ED που κατασκευάζεται κολλώντας τις ίσες πλευρές των πτερύγων είναι όμοιο του τριγώνου των διαμέσων του ABC με λόγο ομοιότητας 2. Το κέντρο βάρους G αυτού του τριγώνου απέχει από τις κορυφές του αποστάσεις ίσες με τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ABC.

[1] Πράγματι, περιστρέφω την πτέρυγα ADI περί το Α κατά π/2 ώστε να πάρει την θέση AD'I'. Επειδή η γωνία της πτέρυγας στο Α είναι η παραπληρωματική της γωνίας Α του ABC το Ι' θα έλθει να συμπέσει με το C, το ΑΚ θα στραφείστην θέση ΑΚ', ορθογώνια προς το ΑJ. Το ΑΚ' = ΑΚ ως παράλληλο της ΒC από το μέσον Α της BD' είναι το ήμισυ της BC.
[2,3] Προκύπτει από την συμμετρία της σχέσης CGH : πτέρυγα του ABC <=> ABC : πτέρυγα του CGH.

2. Το τρίγωνο των διαμέσων

Το τρίγωνο των διαμέσων του ABC είναι το τρίγωνο με πλευρές παράλληλες και ίσες προς τις διαμέσους του ABC.
Το τρίγωνο των διαμέσων του τριγώνου των διαμέσων είναι όμοιο προς το αρχικό. Αυτός ο δυϊσμός των δύο τριγώνων αντανακλάται και στο σχήμα του Vecten. Στρέφοντας το τρίγωνο ED-FG-HI κατά π/2 παίρνουμε ένα τρίγωνο ομοιόθετο του τριγώνου των διαμέσων τουABC.

Το επόμενο σχήμα δείχνει ένα τρίγωνο ABC το τρίγωνο των διαμέσων του BDE και το όμοιο του BDE, τρίγωνο FGH, που κατασκευάζεται φέρνοντας κάθετες στις διαμέσους του ABC. Στο σχήμα επίσης φαίνεται η σχέση και ο δυϊσμός που ανέφερα. Η διάμεσος ΒΜ του BDE είναι τα 3/4 της πλευράς ΒC.

Το σχήμα του Vecten εκφράζει την στενή σχέση που υπάρχει μεταξύ του τριγώνου ABC και του τριγώνου των διαμέσων του BDE. Κάθε πτέρυγα έχει μιά γωνία παραπληρωματική αντίστοιχης γωνίας του ABC, προσκείμενες πλευρές ίσες με αντίστοιχες προσκείμενες πλευρές του ABC και απέναντι πλευρά ίση με το διπλάσιο της, αντίστοιχης της γωνίας, διαμέσου του ABC. Μερικές πρόσθετες ιδιότητες που επιβεβαιώνουν αυτήν την σχέση είναι οι εξής:

[1] Το εμβαδόν του τριγώνου των διαμέσων είναι 3/4 του εμβαδού του ABC.
[2] Αν {S, S'} συμβολίζει το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του ABC και του τριγώνου των διαμέσων του, τότε επίσης S'/S = 3/4.
[3] Τα σχήματα Vecten των δύο τριγώνων ABC και BDE έχουν αντίστοιχα εμβαδά {ε, ε'} των οποίων ο λόγος είναι επίσης ε'/ε = 3/4.
[4] Τα τρίγωνα {ABC, BDE} έχουν την ίδια γωνία Brocard ω, που γιά κάθε τρίγωνο η συνεφαπτόμενή της ισούται με τον λόγο του αθροίσματος των εμβαδών των τετραγώνων του αντίστοιχου σχήματος Vecten προς το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων του ιδίου σχήματος.
[5] Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων Vecten {t, t'} των {ABC, BDE} αντιστοίχως είναι ε(t')/ε(t) = 3/4.
Οι αποδείξεις αυτών των ιδιοτήτων είναι εύκολες υπολογιστικά και στηρίζονται στο προηγούμενο σχήμα, στον τύπο που συνδέει τα τετράγωνα των διαμέσων με αυτά των πλευρών:
m_a² = (1/4)(b²+c²+2bccos(A)) =>
m_a² + m_b² + m_c² = (3/4)(a² + b² + c²).
Ο ισχυρισμός γιά τις γωνίες Brocard προκύπτει από τις προηγούμενες ιδιότητες και τον βασικό τύπο της γωνίας αυτής:
cot(ω) = (a² + b² + c²)/(4ε(ABC)).

3. Διπλασιάζοντας το σχήμα Vecten

Κατασκευάζουμε ξανά το σχήμα Vecten σε κάθε μιά πτέρυγα και παίρνουμε το παρακάτω σχήμα, το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες:
[1] Τα επόμενα είναι ζεύγη παραλλήλων: (ON, LM), (DG, EF), (IJ, KH).
[2] Στα τραπέζια που προκύπτουν η μία παράλληλος πλευρά είναι παράλληλη και ίση προς πλευρά του τριγώνου ABC και ο λόγος των παραλλήλων πλευρών είναι 4.
[3] Τα τραπέζια {HIJK, GDEF, NOLM} έχουν ίσα εμβαδά που είναι 5 φορές το εμβαδόν του ABC.
[4] Το κάθε τραπέζιο έχει ύψος ίσος με το ύψος του τριγώνου ABC προς την πλευρά του που είναι παράλληλος προς τις παράλληλες πλευρές του τραπεζίου.

Το [1] προκύπτει θεωρώντας το τρίγωνο DGE ως πτέρυγα του DNB άρα ισοεμβαδικό προς αυτό, που με την σειρά του είναι ισοεμβαδικό με το ABC. Ομοίως και το DGF είναι ισοεμβαδικό του ABC. Αφου τα {DGE, DGF} είναι ισοεμβαδικά με κοινή βάση οι κορυφές τους θα είναι σε παράλληλη προς την βάση.
Γιά τα [2,3] μεταφέρω τα τραπέζια ώστε οι πλευρές τους {DG, JI, ON} να συμπέσουν αντίστοιχα με τις με τις {BC, CA, AB}. Τα τρίγωνα ABC και ZVU είναι όμοια, η (ND=MN=) VB είναι προέκταση της διαμέσου του ABC από το Β και διπλάσια αυτού άρα τριπλάσια της BW, όπου W το κέντρο βάρους του ABC. Άρα ο λόγος των εμβαδών ε(WVU)/ε(WBC) = 16 => ε(BCVU)/ε(WBC) = 15 => ε(BCVU)/ε(ΑBC) = 5.

Δείτε ακόμη

Σχήμα του Vecten
Σχήμα του Vecten (II)
Σχήμα του Vecten (IV)
Σχήμα του Vecten (V)
Πλέγμα του Vecten
Τρίγωνο των διαμέσων
Γωνία Brocard

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/