Μιγαδική Ανάλυση

Εαρινό Εξάμηνο 2016

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τετάρτη 3:00-5:00 και Παρασκευή 3:00-5:00 στην B214.

Κύριο Σύγγραμμα: E. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis).

Βοηθητικά Συγγράμματα:
(1) Μεταπτυχιακές σημειώσεις Μήτση εδώ και προπτυχιακές εδώ.
(2) J. Conway, Functions of one complex variable (2nd edition), Springer 1978.
(3) L. Ahlfοrs, Complex Analysis (3rd Edition).
(4) R. Ash and W. Novinger, Complex variables (2nd Edition), Dover 2004.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Παρασκευή 1:30-3:00.

Ύλη: Στοιχειώδεις συναρτήσεις, στοιχειώδης τοπολογία μιγαδικού επιπέδου, όρια και συνέχεια, δυναμοσειρές, παράγωγος μιγαδικών συναρτήσεων, συνθήκες Cauchy-Riemann, ολοκλήρωμα μιγαδικών συναρτήσεων, θεώρημα Cauchy-Goursat, ολοκληρωτικός τύπος Cauchy για "στοιχειώδη χωρία", θεώρημα Liouville, θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, θεώρημα Morera, ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά ολόμορφων συναρτήσεων, αρχή ταύτισης, θεώρημα μέσης τιμής, αρχή μεγίστου, αρχή ανάκλασης, μεμονωμένες ανωμαλίες, ανάπτυγμα Laurent, ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές σε υπολογισμό ολοκληρωμάτων και σειρών, ολοκληρωτικός τύπος Cauchy για απλά συνεκτικά χωρία και ομοτοπική του έκδοση, αναλυτικοί κλάδοι λογαρίθμου, αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouche και εφαρμογές, θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, τύπος και ανισότητα Jensen, απειρογινόμενα και θεώρημα παραγοντοποίησης του Weierstrass, μετασχηματισμοί Mobius, λήμμα Schwarz, σύμμορφες απεικονίσεις του δίσκου, φυσιολογικές οικογένειες, θεώρημα Hurwitz, θεώρημα Montel, θεώρημα σύμμορφης απεικόνισης Riemann, η ζ-συνάρτηση του Riemann, αναλυτική επέκταση, τύπος Perron, απόδειξη του θεωρήματος κατανομής των πρώτων (κομμάτια από τα Κεφάλαια 1-8 από το κύριο σύγγραμμα).

Βαθμολογία: Aσκήσεις: 20%, Πρόοδος: 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

18/3: Την Δευτέρα 28 Μαρτίου 1:00-3:00 και την Τετάρτη 30 Μαρτίου 2:00-3:00 θα λύσουμε τις ασκήσεις των φυλλαδίων 1-4.

18/3: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 1 Απριλίου ώρα 3:00-5:30 στην B214. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες που θα έχουμε καλύψει μέχρι και το μάθημα της 7ης εβδομάδας. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

4/4: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.

15/4: Την Δευτέρα 18 Απριλίου 1:00-3:00 θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο θεωρίας (αναπλήρωση για μάθημα που θα χάσουμε μελλοντικά).

22/4: Την Δευτέρα 9 Μαϊου 1:00-3:00 θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο θεωρίας (αναπλήρωση για μάθημα που θα χάσουμε μελλοντικά).

13/5: Λόγω απουσίας μου σε συνέδριο την επόμενη εβδομάδα δεν θα γίνουν μαθήματα.

13/5: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 21 Ιουνίου ώρα 11:00-3:00 στην B214. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που έχουμε καλύψει με έμφαση στην ύλη μετά την πρόοδο. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε δύο σελίδες με διάφορες σημειώσεις σας.

13/5: Την Πέμπτη 16 Ιουνίου 1:00-4:00 θα λύσουμε τις ασκήσεις των φυλλαδίων 5-7.

21/6: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (10, 12 Φεβρουαρίου): Διάφορα ιστορικά στοιχεία, μιγαδικοί αριθμοί, αλγεβρικές ιδιότητες, πολική και εκθετική μορφή μιγαδικού αριθμού, όρισμα και ιδιότητες, στοιχειώδεις συναρτήσεις, στοιχειώδης τοπολογία μιγαδικού επιπέδου, όρια και συνέχεια, δυναμοσειρές. Θεωρία: Σελίδες 1-40 από τις προπτυχιακές σημειώσεις του Μήτση. Aσκήσεις: Σελίδες 24-26, 29 από το κύριο σύγγραμμα.

2η Εβδομάδα (17, 19 Φεβρουαρίου): Παράγωγος μιγαδικών συνάρτησεων, κανόνες παραγώγισης, παράγωγος βασικών συναρτήσεων, παραγώγιση δυναμοσειράς, δυναμοσειρές βασικών συναρτήσεων, σχέση με παράγωγο πραγματικών συναρτήσεων στο επίπεδο, συνθήκες Cauchy Riemann και εφαρμογές, αρμονικές συναρτήσεις. Θεωρία: Σελίδες 8-18 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 27-28 από το κύριο σύγγραμμα.

3η Εβδομάδα (24, 26 Φεβρουαρίου): Καμπύλες, ισοδύναμες καμπύλες, επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και ιδιότητες, παραδείγματα, παράγουσες μιγαδικών συναρτήσεων, ισοδύναμες συνθήκες για ύπαρξη παράγουσας, θεώρημα Cauchy-Goursat, θεώρημα κλειστής καμπύλης σε αστρόμορφα χωρία για ολόμορφες συναρτήσεις. Θεωρία: Σελίδες 19-24 και 32-41 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 64-65 από το κύριο σύγγραμμα.

4η Εβδομάδα (2, 4 Μαρτίου): Oλοκληρωτικός τύπος Cauchy για "στοιχειώδη χωρία", υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων, ομαλότητα ολόμορφων συναρτήσεων και τύπος Cauchy για παραγώγους, εκτιμήσεις Cauchy, θεώρημα Liouville, θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Θεωρία: Σελίδες 42-51 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 64-67 από το κύριο σύγγραμμα.

5η Εβδομάδα (9, 11 Μαρτίου): Aνάπτυγμα σε δυναμοσειρά ολόμορφων συναρτήσεων, αρχή ταύτισης, θεώρημα μέσης τιμής, αρχή μεγίστου, θεώρημα Morera, παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται από ολοκληρώματα, ολομορφία ομοιόμορφου ορίου, αρχή ανάκλασης Schwarz. Θεωρία: Σελίδες 52-60 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 64-67 από το κύριο σύγγραμμα.

6η Εβδομάδα (16, 18 Μαρτίου): Μεμονωμένες ιδιομορφίες ολόμορφων συναρτήσεων (άρσιμες, πόλοι, ουσιώδεις), ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη καθεμιάς, θεώρημα Riemann, θεώρημα Casorati Weirstrass, ανάπτυγμα Laurent και σχέση με της ιδιομορφίες της συνάρτησεις, μερόμορφες συναρτήσεις. Θεωρία: Σελίδες 71-76, 83-86, 109 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 105-106 από το κύριο σύγγραμμα.

7η Εβδομάδα (23 Μαρτίου): Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και χρήση για υπολογισμό επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων, εφαρμογές σε υπολογισμό πραγματικών γενικευμένων ολοκληρωμάτων και σειρών πραγματικών αριθμών. Θεωρία: Σελίδες 76-83 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 103-105 από το κύριο σύγγραμμα.

8η Εβδομάδα (28, 30 Μαρτίου, 1 Απριλίου): Ομοτοπικές καμπύλες, απλά συνεκτικά χωρία, ομοτοπική εκδοχή του θεωρήματος Goursat, ύπαρξη συζυγής αρμονικής σε απλά συνεκτικά χωρία. Λύση ασκήσεων των φυλλαδίων 1-4. Πρόοδος. Θεωρία: Σελίδες 93-97 από το κύριο σύγγραμμα.

9η Εβδομάδα (6, 8 Απριλίου): Δείκτης στροφής, γενικευμένος ολοκληρωτικός τύπος Cauchy, τύπος Cauchy για απλά συνεκτικά χωρία, ολόμορφος κλάδος λογαρίθμου σε απλά συνεκτικά χωρία, αρχή ορίσματος, θεώρημα Rouche και εφαρμογές, θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης. Θεωρία: Σελίδες 87-92, 98-101 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδα 106.

10η Εβδομάδα (13, 15 Απριλίου): Τύπος και ανισότητα Jensen, σχέση πλήθους μηδενικών και τάξης μεγέθους ολόμορφης συνάρτησης, απειρογινόμενα, θεώρημα παραγοντοποίησης του Weierstrass και Hadamard, παραδείγματα παραγοντοποίησης στοιχειωδών συναρτήσεων. Θεωρία: Σελίδες 134-153 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 153-157 από το κύριο σύγγραμμα.

11η Εβδομάδα (18, 20, 22 Απριλίου): Απόδειξη θεωρήματος παραγοντοποίησης του Hadamard, σύμμορφοι μετασχηματισμοί και ισοδυναμίες, μετασχηματισμοί Mobius, λήμμα Schwarz, σύμμορφες απεικονίσεις του δίσκου, φυσιολογικές οικογένειες, θεώρημα Hurwitz, θεώρημα Montel. Θεωρία: Σελίδες 145-153, 205-212, 218-221, 224-228 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 154-157, 248-251 από το κύριο σύγγραμμα.

12η Εβδομάδα (9, 11, 13 Μαϊου): Απόδειξη θεωρήματος σύμμορφης απεικόνισης Riemann, η ζ-συνάρτηση του Riemann, αναλυτική επέκταση, τύπος Euler, σειρά Dirichlet για την συνάρτηση Von Mangoldt, μη μηδενισμός της ζ-συνάρτησης για Re(z)=1, ολοκληρωτικός τύπος Perron, απόδειξη του θεωρήματος κατανομής των πρώτων. Θεωρία: Σελίδες 228-230, 172-174, 181-197 από το κύριο σύγγραμμα. Aσκήσεις: Σελίδες 199-201 από το κύριο σύγγραμμα.

13η Εβδομάδα (16 Ιουνίου): Λύση ασκήσεων των φυλλαδίων 5-7.

Φυλλάδια Ασκήσεων