3 Πρόβλημα δύο σημείων 3.5 Συνοριακές συνθήκες Neumann 3.7 Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες

3.6 Ένα γενικότερο πρόβλημα

Θεωρούμε τώρα μια πιο γενική διαφορική εξίσωση, από αυτές που συναντήσαμε στις προηγούμενες παραγράφους αυτού του κεφαλαίου, και το παρόμοιο, με το (3.1), πρόβλημα δύο σημείων με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet

\begin{split}\displaystyle-u^{\prime\prime}(x)+p(x)u^{\prime}(x)+q(x)u(x)&% \displaystyle=f(x),\quad x\in[a,b],\\ \displaystyle u(a)=u(b)&\displaystyle=0,\end{split}

(3.53)

όπου $a,b\in\mathbb{R}$ , $a<b$ , $p,q,f\in C[a,b]$ και $q(x)>0$ , για κάθε $x\in[a,b]$ .

Όπως και στα προηγούμενα κεφάλαια θεωρούμε έναν ομοιόμορφο διαμερισμό $N+2$ σημείων του $[a,b]$ , $x_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , και θέλουμε και εδώ να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις $U_{i}$ των τιμών $u(x_{i})$ της ακριβούς λύσης του (3.53). Σε κάθε σημείο του διαμερισμού $x_{i}$ , $i=1,\dots,N$ , θα ισχύει:

-u^{\prime\prime}(x_{i})+p(x_{i})u^{\prime}(x_{i})+q(x_{i})u(x_{i})=f(x_{i}),% \quad i=1,\dots,N.

(3.54)

Λόγω των συνοριακών συνθηκών $u(x_{0})=u(x_{N+1})=0$ , θέτουμε λοιπόν $U_{0}=U_{N+1}=0$ . Στη συνέχεια, όπως και πριν στις Παραγράφους 3.1 και 3.5, οι τιμές $U_{i}$ προκύπτουν προσεγγίζοντας κατάλληλα τις παραγώγους στην (3.54). Αντικαθιστούμε, λοιπόν, την $u^{\prime\prime}(x_{i})$ στην (3.54) και πάλι με την $\delta^{c}_{h,2}u(x_{i})$ , οπότε αν $u\in C^{4}[a,b]$ , λόγω της (2.9), η (3.54) γίνεται

\begin{split}\displaystyle-&\displaystyle\dfrac{u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1}% )}{h^{2}}+p(x_{i})u^{\prime}(x_{i})+q(x_{i})u(x_{i})\\ &\displaystyle=f(x_{i})+\eta^{1}_{i},\quad i=1,\dots,N,\end{split}

(3.55)

όπου

|\eta_{i}^{1}|\leq\dfrac{h^{2}}{12}\max_{x\in[a,b]}|u^{(4)}(x)|,\quad i=1,% \dots,N.

(3.56)

Στη συνέχεια, για την προσέγγιση της $u^{\prime}(x_{i})$ , χρησιμοποιούμε την $\delta^{c}_{h}u(x_{i})$ που θεωρήσαμε στη (2.2). Συνεπώς, αν $u\in C^{3}[a,b]$ , λόγω τώρα της (2.4), η (3.54) γίνεται

\begin{split}\displaystyle-&\displaystyle\dfrac{u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1}% )}{h^{2}}+p(x_{i})\dfrac{u(x_{i+1})-u(x_{i-1})}{2h}\\ &\displaystyle\quad+q(x_{i})u(x_{i})=f(x_{i})+\eta^{1}_{i}+\eta^{2}_{i},\quad i% =1,\dots,N,\end{split}

(3.57)

όπου

|\eta_{i}^{2}|\leq\dfrac{h^{2}}{6}\max_{x\in[a,b]}|u^{(3)}(x)|,\quad i=1,\dots% ,N,

(3.58)

Επομένως, λόγω των (3.56) και (3.58) έχουμε ότι ισχύει το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 3.6.

Έστω $u$ η λύση του (3.1) με $u\in C^{4}[a,b]$ . Αν θέσουμε $\eta_{i}=\eta_{i}^{1}+\eta_{i}^{2}$ , με $\eta_{i}^{1},\eta_{i}^{2}$ που δίνονται στις (3.55) και (3.57), τότε έχουμε ότι υπάρχει σταθερά ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{1\leq i\leq N}|\eta_{i}|\leq Ch^{2}.

(3.59)

Παρατήρηση 3.6.

Αντί της $\delta^{c}_{h}u(x_{i})$ για την προσέγγιση της $u^{\prime}(x_{i})$ θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την $\delta^{+}_{h}u(x_{i})$ είτε την $\delta^{-}_{h}u(x_{i})$ . Σε αυτή την περίπτωση αντί της (3.58) θα ισχύει μια διαφορετική εκτίμηση για το $\eta_{i}$ , όπου η τάξη του $h$ θα είναι ένα και κατά συνέπεια το συμπέρασμα του Λήμματος 3.6 θα είναι διαφορετικό, βλ. Άσκηση 3.8.

Επομένως, οι προσεγγίσεις $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , των $u(x_{i})$ προκύπτουν σύμφωνα με τις ακόλουθες εξισώσεις

		$\displaystyle\,{\begin{aligned}\displaystyle-&\displaystyle\dfrac{U_{i+1}-2U_{% i}+U_{i-1}}{h^{2}}+p(x_{i})\dfrac{U_{i+1}-U_{i-1}}{2h}+q(x_{i})U_{i}\\ &\displaystyle=f(x_{i}),\quad i=1,\dots,N,\\ \end{aligned}}$		(3.60)
		$\displaystyle U_{0}=U_{N+1}=0.$		(3.61)

Αν συμβολίσουμε με $U\in\mathbb{R}^{N}$ , το διάνυσμα με συνιστώσες $U_{1},\dots,U_{N}$ , $U=(U_{1},\dots,U_{N})^{T}$ , μπορούμε να γράψουμε το σύστημα εξισώσεων (3.60)–(3.61) ισοδύναμα

(A+h^{2}Q)U=h^{2}F,

(3.62)

όπου $A\in\mathbb{R}^{{N}\times{N}}$ είναι ο πίνακας

A=\left(\begin{array}[]{cccc}2&-1+p(x_{1})\frac{h}{2}&0&\\ -1-p(x_{2})\frac{h}{2}&2&-1+p(x_{2})\frac{h}{2}&0\\ &\ddots&\ddots&\\ &-1-p(x_{N-1})\frac{h}{2}&2&-1+p(x_{N-1})\frac{h}{2}\\ &0&-1-p(x_{N})\frac{h}{2}&2\end{array}\right),

και όπως στην (3.8) ο $Q$ είναι ένας διαγώνιος $N\times N$ πίνακας και $F\in\mathbb{R}^{N}$ . Προκύπτει λοιπόν ότι ο $A+h^{2}Q$ είναι ένας τριδιαγώνιος πίνακας, ο οποίος για να έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο πρέπει

\begin{split}&\displaystyle|2+h^{2}q(x_{i})|>|1+p(x_{i})\frac{h}{2}|+|1-p(x_{i% })\frac{h}{2}|,\quad i=2,\dots,N-1,\\ &\displaystyle|2+h^{2}q(x_{1})|>|1-p(x_{1})\frac{h}{2}|,\ \quad\text{και}\ \ |% 2+h^{2}q(x_{N})|>|1+p(x_{N})\frac{h}{2}|.\end{split}

(3.63)

Αν $\max_{x\in[a,b]}|p(x)|\frac{h}{2}<1$ , τότε έχουμε ότι $1+p(x_{i})\frac{h}{2}>0$ και $1-p(x_{i})\frac{h}{2}>0$ , $i=1,\dots,N$ . Οπότε σε αυτήν την περίπτωση ισχύουν οι συνθήκες (3.63).

Λόγω του Λήμματος 3.6, αν η ακριβής λύση $u$ είναι αρκετά ομαλή, τότε το σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}$ τείνει στο μηδέν, καθώς το $h$ τείνει στο μηδέν. Επομένως, ισχύει ότι η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (3.60)–(3.61) είναι συνεπής.

Με όμοια επιχειρήματα όπως και στην περίπτωση του Θεωρήματος 3.1, προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα για την ευστάθεια της μεθόδου.

Θεώρημα 3.6.

Έστω $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , η λύση του προβλήματος (3.60)–(3.61), $q_{\min}>0$ και $\max_{x\in[a,b]}|p(x)|\frac{h}{2}<1$ . Τότε υπάρχει σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}|\leq C\max_{x\in[a,b]}|f(x)|.

(3.64)

Απόδειξη.

Η απόδειξη γίνεται με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 3.1. Λόγω της (3.60), έχουμε

(2+h^{2}q(x_{i}))U_{i}=(1-p(x_{i})\frac{h}{2})U_{i+1}+(1+p(x_{i})\frac{h}{2})U% _{i-1}+h^{2}f(x_{i}),\quad 1\leq i\leq N.

Στη συνέχεια, επειδή $q_{\min}>0$ και $\max_{x\in[a,b]}|p(x)|\frac{h}{2}<1$ , έχουμε

\begin{split}\displaystyle(2+h^{2}q_{\min})|U_{i}|&\displaystyle\leq|1-p(x_{i}% )\frac{h}{2}|\,|U_{i+1}|+|1+p(x_{i})\frac{h}{2}|\,|U_{i-1}|+h^{2}|f(x_{i})|\\ &\displaystyle\leq 2\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}|+h^{2}\max_{x\in[a,b]}|f(x)|,% \end{split}

από όπου εύκολα παίρνουμε τη ζητούμενη ανισότητα. ∎

Θεώρημα 3.7.

Έστω $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , η λύση του προβλήματος (3.60)–(3.61), και $u$ η λύση του προβλήματος (3.53), με $u\in C^{4}[a,b]$ . Τότε, αν $q_{\min}>0$ , και $\max_{x\in[a,b]}|p(x_{i})|\frac{h}{2}<1$ υπάρχει μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}-u(x_{i})|\leq Ch^{2}.

(3.65)

Απόδειξη.

Η απόδειξη γίνεται με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 3.6. Έτσι μπορούμε να δείξουμε ότι

\max_{1\leq i\leq N}|U_{i}-u(x_{i})|\leq C\max_{1\leq i\leq N}|\eta_{i}|,

για μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ . Λόγω τώρα της (3.62) έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα. ∎

Παρατήρηση 3.7.

Η υπόθεση $q_{\min}>0$ δεν είναι απαραίτητη για να δείξουμε την ευστάθεια ή τη σύγκλιση της μεθόδου, αν ακολουθήσουμε παρόμοια ανάλυση όπως στην Παράγραφο 3.4. Όμως, η υπόθεση $\max_{x\in[a,b]}|p(x)|\frac{h}{2}<1$ είναι αναγκαία, όπως φαίνεται και στο επόμενο παράδειγμα. Λόγω αυτής της ιδιότητας, της ύπαρξης δηλαδή συνθηκών που πρέπει να ικανοποιεί η διαμέριση, η μέθοδος (3.60)–(3.61) καλείται ευσταθής υπό συνθήκες.

Παράδειγμα 3.4.

Για να δούμε ότι είναι αναγκαία η υπόθεση $\allowdisplaybreaks\max_{x\in[a,b]}|p(x)|\frac{h}{2}<1$ για την προσέγγιση της ακριβούς λύσης θα θεωρήσουμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών:

-u^{\prime\prime}(x)+pu^{\prime}+u(x)=f(x),\quad 0<x<1,\quad\text{με}\ u(0)=u(% 1)=0,

(3.66)

με $p=200$ και $f(x)=9900x^{98}+p(1-100x^{99})+x-x^{100}$ . Η ακριβής λύση $u$ αυτού του προβλήματος είναι $u(x)=x-x^{100}$ . Αν θεωρήσουμε έναν διαμερισμό του $[0,1]$ με $N=20,30$ , τότε, προφανώς, δεν ικανοποιείται η συνθήκη $p\frac{h}{2}<1$ , ενώ ισχύει αν $N=102$ . Στο Σχήμα 3.2 βλέπουμε ότι η προσέγγιση αποτυγχάνει κοντά στο σημείο $x=1$ αν $N=20,30$ .