ThalesParabola

Παραβολές του Θαλή

Δίδονται δύο τεμνόμενες ευθείες GE, GH και σημείο F εκτός αυτών.
Υπάρχει μία παραβολή εφαπτόμενη αυτών των ευθειών και εφαπτόμενη επίσης μιάς απειρίας ευθειών UW, που προκύπτουν ως εξής:
Γιά κάθε κύκλο που διέρχεται από τα G και F θεωρούμε τα σημεία τομής του {U,W} με τις ευθείες GE, GH αντίστοιχα.
Το σημείο F είναι η εστία της παραβολής ενώ η διευθετούσα της προσδιορίζεται εύκολα από τα δεδομένα (τις δύο ευθείες και το F).

Μπορεί κανείς να ξεκινήσει από τις δύο ευθείες {GE, GH} και τις δύο τέμνουσες αυτών {UW, VN}. Το κλειδί της απόδειξης είναι το θεώρημα του Miquel και οι συνέπειές του (δες Σημείο του Miquel ). Σύμφωνα με αυτές οι περίκυκλοι των τεσσάρων τριγώνων {GWU, GNV, IWN, IUV} που σχηματίζονται από τις τέσσερις αυτές ευθείες διέρχονται από το σημείο F. Οι τέσσερις ευθείες ορίζουν μιά παραβολή με εστία στο F που εφάπτεται αυτών.
Από τις ιδιότητες της παραβολής (δες Παραβολής ιδιότητα ) και το αντίστροφο του γενικευμένου θεωρήματος του Θαλή (δες Γενίκευση θεωρήματος Θαλή ) προκύπτει ότι και οι άλλες ευθείες PR που προκύπτουν από κύκλους διερχόμενους δια των {F,G} και τις τομές τους με τις ευθείες {GE, GH} είναι όλες εφαπτόμενες αυτής της παραβολής.

Γιά την εύρεση της διευθετούσας θεώρησε τον ελάχιστο κύκλο της δέσμης που έχει διάμετρο την FG. Έστω ότι Q, X είναι οι τομές αυτού του κύκλου με τις ευθείες GE, GH καί ότι η ευθεία FE' είναι ορθογώνια στην QX.
Θεώρησε τον κύκλο που διέρχεται (από τα {F,G} και) από το E' και τέμνει την ευθεία GH στο H'. Συγκρίνοντας τις γωνίες στα E', Q και G, βλέπουμε ότι angle(FE'H) = angle(FE'Q) (λαμβάνοντας υπόψη ότι το Χ είναι το μέσον της χορδής GH'). Άρα η FE' είναι άξονας της παραβολής, αφού οι E'H', E'G είναι δύο εφαπτόμενες συμμετρικές ως προς αυτήν την ευθεία.
Από τα πορίσματα του Miquel γνωρίζουμε ότι το ορθόκεντρο Υ του τριγώνου E'QZ είναι επί της διευθετούσας της παραβολής. Εύκολα επίσης βλέπουμε ότι το QYZF είναι ρόμβος, άρα το Υ είναι συμμετρικό το F ως προς την ευθεία QX.
Η συνταγή λοιπόν εύρεσης της παραβολής είναι:
1) Κατασκευή του κύκλου με διάμετρο FG.
2) Εύρεση τομών {Q,X} αυτού του κύκλου με τις ευθείες {GE,GH}.
3) Εύρεση του συμμετρικού Υ του F ως προς την QX.
4) Η διευθετούσα είναι η παράλληλος της QX από το Υ.

Δείτε ακόμη

Διπλός λόγος τεσσάρων εφαπτομένων
Παραβολής ιδιότητα
Παραβολής χορδές
Παραβολή σε πλαγιογώνιους άξονες
Θεώρημα Θαλή
Θεώρημα Θαλή ΙΙ
Γενίκευση θεωρήματος Θαλή
Παρατηρήσεις στο θεώρημα Θαλή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/