Desargues

1. Θεώρημα Desargues και τριγραμμικές πολικές

Ξεκινάμε από τρίγωνο t=(ABC), ένα σημείο D και μία κατεύθυνση e. Κατασκεύασε τα σημεία A',B',C' στις πλευρες του t, τομές με την παράλληλο της e δια του σταθερού σημείου D. Φέρε τις AA', BB', CC' και κατασκεύασε το τρίγωνο t'=(A''B''C'') αυτών των ευθειών. Επανάλαβε την κατασκευή αντικαθιστώντας το τρίγωνο t με το t'. Όλα αυτα τα τρίγωνα είναι προοπτικά του t επί σταθερών ευθειών f, g, h, k, εξαρτωμένων μόνον από το t, D και την κατεύθυνση e.

Η αιτία αυτού του φαινομένου είναι ότι η κατασκευή του Α''Β''C'' από το ΑΒC στην ουσία συμπίπτει με την κατασκευή του τριπόλου P της ευθείας (f) ως προς το τρίγωνο ΑBC. Το τρίγωνο ΑBC είναι σεβιανό του A''B''C'' και το τελευταίο είναι πρε-σεβιανό του ΑBC. Η σχέση προοπτικότητας είναι συμμετρική ως προς τα δύο τρίγωνα και αυτό αντανακλάται στο ότι η (f) είναι τριγραμμική πολική του P και ως προς τα δύο τρίγωνα.
Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία με το A''B''C'' θα κατασκευάσουμε το πρε-σεβιανό αυτού ως προς τον ίδιο άξονα/κέντρο προοπτικότητας κ.ο.κ.. Στο Τριγραμμική πολική γίνεται μιά εκτενέστερη συζήτηση πάνω στο θέμα της τριγραμμικής πολικής και των διαφόρων απόψεων αυτής της κατασκευής.

2. Κωνική περιγεγραμμένη με δοθέντα προόπτη

Όπως και προηγουμένως ξεκινάμε από τρίγωνο t=(ABC), ένα σημείο D και μία ευθεία (e) διερχόμενη διά του D. Κατασκευάζουμε τα σημεία A',B',C' στις πλευρες του t, τομές με την (e). Φέρνουμε τις ευθείες AA', BB', CC' και κατασκευάζουμε το τρίγωνο t'=(A''B''C'') αυτών των ευθειών.
[1] Τα τρίγωνα {t, t'} είναι εκ κατασκευής αξονικά προοπτικά (με άξονα την (e)) άρα και σημειακά προοπτικά ως προς σημείο P.
[2] Η ευθεία (e) είναι ταυτόχρονα τριγραμμική πολική του P ως προς τα δύο τρίγωνα {t, t'}.
[3] Γιά σταθερό D και μεταβλητή (e) διερχόμενη διά του D, το αντίστοιχο σημείο P διαγράφει την κωνική με προόπτη το D.

Το [1] είναι συνέπεια του θεωρήματος Desargues. Το [2] προκύπτει από τον ορισμό της τριγραμμικής πολικής (δες Τριγραμμική πολική ). To [3], δηλαδή ότι η κωνική με προόπτη το D προκύπτει από τους τριπόλους ως προς το τρίγωνο ευθειών που διέρχονται από το D, αποδεικνύεται στο EquilateralTripolars.html .

3. Κωνική εγγεγραμμένη με δοθέντα προόπτη

Η κατασκευή η δυϊκή της προηγουμένης είναι να ξεκινήσουμε από τρίγωνο t=(ABC), σταθερή ευθεία (e) και μεταβλητό σημείο P επί της (e). Ενώνουμε το P με τις κορυφές και κατασκευάζουμε τα σημεία {A',B',C'} στις πλευρες {BC, CA, AB} του t ως τομές με τις ευθείες {PA, PB, PC} αντίστοιχα.
[1] Τα τρίγωνα t' = A'B'C' και t είναι εκ κατασκευής σημειακά προοπτικά (ως προς P) άρα και ευθειακά προοπτικά ως προς ευθεία L_P.
[2] Η ευθεία L_P είναι ταυτόχρονα τριγραμμική πολική του P ως προς τα δύο τρίγωνα {t, t'}.
[3] Γιά σταθερή (e) και μεταβλητό σημείο P επ' αυτής, η αντίστοιχη ευθεία L_P περιβάλλει κωνική εγγεγραμμένη στο τρίγωνο ABC με προόπτη το D που είναι ο πόλος της ευθείας (e) ως προς την κωνική και ταυτόχρονα ο τριγραμμικός πόλος της (e) ως προς το αρχικό τρίγωνο ABC.

Και πάλι το [1] είναι συνέπεια του θεωρήματος Desargues. Το [2] προκύπτει από τον ορισμό της τριγραμμικής πολικής (δες Τριγραμμική πολική ). To [3] αποδεικνύεται στο Γενικευμένος Ισογωνιακός μετασχηματισμός .

Δείτε ακόμη

Θεώρημα Desargues
Δυϊκότητα
Θεώρημα του Μενελάου
Εφαρμογή του θεωρήματος Μενελάου
Θεώρημα του Πάππου
Αυτοδυϊκότητα θεωρήματος Πάππου
Γενικευμένος Ισογωνιακός μετασχηματισμός
Τριγραμμική πολική

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/