Προεκτείνουμε τις απέναντι πλευρές τετραπλεύρου και φέρνουμε τις διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ. H ευθεία (e) ορίζεται από τα σημεία τομής {Ε, Ι} των ζευγών απέναντι πλευρών (ΑΒ, ΓΔ) και (ΒΓ, ΔΑ).
[1] To Z είναι το σημείο τομής των διαγωνίων και ορίζει τις αρμονικές τετράδες ευθειών Ι(Α, Β, Λ, Ε) και Ε(Α, Δ, Θ, Ι).
[2] Από τα σημεία τομής των ευθειών {ΖΕ, ΖΙ} με τις πλευρές του τετραπλεύρου προκύπτουν και τα ζεύγη ευθειών (ΛΗ, ΘΜ) και (ΛΘ, ΗΜ) που τέμνονται αντίστοιχα στα {Κ, Ν} σημεία τομής των διαγωνίων με την (e).
[3] Oι τετράδες ευθειών Κ(Λ, Θ, Α, Ν) και Ν(Η, Λ, Β, Κ) είναι επίσης αρμονικές.
[4] Η τετράδα σημείων (Ε, Ι, Κ, Ν) είναι αρμονική.
Το [1] είναι συνέπεια της βασικής κατασκευής αρμονικών σημείων, όπως αυτή αναλύεται στο Αρμονική τετράδα .
Κατ' αυτήν τα {Γ,Δ} είναι συζυγή αρμονικά των {Μ,Ε}, άρα και η τετράδα ευθειών Ι(Γ,Δ,Μ,Ε) θα είναι αρμονική ( Αρμονική δέσμη ). Παρόμοια και η Ε(Α,Δ,Θ,Ι) θα είναι αρμονική.
Tο τετράπλευρο ΛΗΜΘ που δημιουργείται θα ορίζει αναλόγως με τα σημεία τομής {Κ,Ν} των απέναντι πλευρών του ευθεία e'. Η τετράδα (Λ,Μ,Ι,Ζ) είναι αρμονική λόγω του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ άρα το Ι θά περιέχεται στην e'. Ανάλογα και το E θα περιέχεται στην e'. Άρα η e' θα ταυτίζεται με την e.
Παρόμοια αποδεικνύονται και οι άλλες ιδιότητες.
Oι ιδιότητες αυτές ανήκουν στην περιοχή της προβολικής γεωμετρίας. Στο πλαίσιο αυτό οι αποδείξεις των ιδιοτήτων γίνονται τετριμμένες. Με μιά ομογραφία (ή προβολικότητα) το τυχόν τετράπλευρο απεικονίζεται σε τετράγωνο και η ευθεία e απεικονίζεται στην ευθεία στο άπειρο. Οι προηγούμενες σχέσεις ανάγονται τότε σε απλές ιδιότητες του τετραγώνου. Η τελευταία λ.χ. ισοδυναμεί με το ότι οι τέσσερις άξονες συμμετρίας του τετραγώνου διά του κέντρου του αποτελούν μιάν αρμονική τετράδα ευθειών.
Το σχήμα αυτό διακρίνουμε στους πίνακες που σέβονται τους κανόνες προοπτικής (διάβαζε προβολικής γεωμετρίας). Μια ειδική περίπτωση συναντάμε στο έγγραφο: Τραπέζιο .
Γιά μιά εφαρμογή αυτού του σχήματος, στην περίπτωση κυκλικών τετραπλεύρων δές το έγγραφο Κυκλικό τετράπλευρο προβολικά .
Μιά άλλη χρήση αυτού του σχήματος, που σχετίζεται με κωνικές, γίνεται στο έγγραφο Πολικής κατασκευή .
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Βασικές ιδιότητες του τετραπλεύρου ![[0_0]](Quadrangle_0_files/Quadrangle_0_0_0_0.png)
![[0_1]](Quadrangle_0_files/Quadrangle_0_0_0_1.png)
![[0_2]](Quadrangle_0_files/Quadrangle_0_0_0_2.png)