ΜΕΜ 234 Γεωμετρική Τοπολογία
και εφαρμογές στη Βιολογία και τη Χημεία

Σε αυτήν τη σελίδα θα εμφανίζονται πληροφορίες σχετικά με το μάθημα ΜΕΜ 234 Γεωμετρική Τοπολογία, που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης το χειμερινό εξάμηνο 2018-19.

Αυτό το εξάμηνο, για να τιμήσουμε το ευρωπαϊκό Έτος Μαθηματικής Βιολογίας 2018, στο μάθημα θα μελετήσουμε και κάποιες εφαρμογές της Γεωμετρικής Τοπολογίας στη Βιολογία και τη Χημεία. Το μάθημα απευθύνεται σε φοιτητές και φοιτήτριες τόσο του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, όσο και των Τμημάτων Βιολογίας, Χημείας και Φυσικής.



Μέθοδος αξιολόγησης

Η αξιολόγηση του μαθήματος θα βασιστεί στην τελική εξέταση.
Κάθε εβδομάδα θα αναρτώνται φυλλάδια ασκήσεων.
Είναι απαραίτητο να προσπαθείτε να λύσετε τις ασκήσεις των φυλλαδίων. Προς το τέλος του εξαμήνου θα αναρτηθούν υποδείξεις ή λύσεις των ασκήσεων.


Περιεχόμενο του μαθήματος


Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των σύγχρονων Μαθηματικών ο οποίος μελετάει τα "ολικά" χαρακτηριστικά χώρων που, από τοπική σκοπιά, μοιάζουν με τους ευκλείδειους χώρους Rn , όπως για παράδειγμα, οι επιφάνειες, οι τρισδιάστατοι χώροι, που θα μπορούσαν να αποτελέσουν μοντέλο του σύμπαντος, ή οι ανάλογοι χώροι περισσοτέρων διαστάσεων, οι n-διάστατες πολλαπλότητες.

Τα κυριότερα προβλήματα της Γεωμετρικής Τοπολογίας σχετίζονται με τη μελέτη των ιδιοτήτων χώρων ειδικού ενδιαφέροντος, όπως οι σφαίρες διάστασης n, ή τη μελέτη των απεικονίσεων μεταξύ τους, και όπου είναι δυνατόν την ταξινόμηση κατηγοριών τέτοιων χώρων ή απεικονίσεων.

Η Γεωμετρική Τοπολογία, πέρα από το ενδιαφέρον της ως μία μαθηματική θεωρία, βρίσκει εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες, όπως στη μελέτη του σχήματος και των ιδιοτήτων πολύπλοκων μορίων στη Χημεία και τη Βιολογία, ή στην προσπάθεια της Φυσικής να περιγράψει τη γεωμετρία του Σύμπαντος.

Σε αυτό το μάθημα θα αναπτύξουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας και εργαλεία από διάφορους κλάδους των μαθηματικών, για να μελετήσουμε δύο χαρακτηριστικά αντικείμενα της γεωμετρικής τοπολογίας: τις επιφάνειες και τους κόμβους. Παράλληλα θα εξετάσουμε κάποιες από τις εφαρμογές της Γεωμετρικής Τοπολογίας στη μελέτη της γεωμετρίας του DNA.



Ώρες Διαλέξεων:  Τρίτη, 11 - 1, Α208 και Πέμπτη, 11 - 1, Α208


Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης
Γραφείο: Γ205
Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο: chrisk@uoc.gr
Ώρες Γραφείου: Δευτέρα, 11-12 και Πέμπτη, 10-11


Βιβλία:
Knots and Surfaces. N.D.Gilbert, T.Porter, Oxford University Press, 1994.
Knots, Molecules, and the Universe: An Introduction to Topology. Erica Flapan, American Mathematical Society, 2016.

Σημειώσεις: Γεωμετρική Τοπολογία, Χρήστος Κουρουνιώτης.
Μπορείτε να πάρετε αντίγραφο των σημειώσεων από τον διδάσκοντα.
Διορθώσεις στις Σημειώσεις.


Ημερολόγιο μαθήματος


Εβδομάδα 1, 24 - 28/9:

Εισαγωγή.
Το παραμύθι της Επιπεδίας.
Τοπολογικές πολλαπλότητες (in English).

Φυλλάδιο 1: Τοπολογικές πολλαπλότητες.

Εβδομάδα 2, 1 - 5/10:

Τοπολογία. Ανοικτά σύνολα. Συνεχείς απεικονίσεις. Ομοιομορφισμοί.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Τοπολογία (in English).
Πρόχειρες Σημειώσεις: Ομοιομορφισμοί. Τοπολογικές αναλλοίωτες (in English).

Φυλλάδιο 2: Τοπολογία, συνεχείς απεικονίσεις.

Εβδομάδα 3, 8 - 12/10:

Κόμβοι. Διαγράμματα κόμβων και συνδέσμων.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Κόμβοι (in English).

Φυλλάδιο 3: Διαγράμματα κόμβων.


Εβδομάδα 4, 15 - 19/10:

Κινήσεις Reidemeister. Ισοτοπία συνδέσμων. Αναλλοίωτες συνδέσμων.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Κινήσεις Reidemeister (in English).
Πρόχειρες Σημειώσεις: Αναλλοίωτες κόμβων (in English).

Φυλλάδιο 4: Κινήσεις Reidemeister. Αναλλοίωτες κόμβων και συνδέσμων.


Εβδομάδα 5, 22 - 26/10:

Πολυώνυμα κόμβων. Πολυώνυμο Kauffman. Πολυώνυμο Jones.
Δείτε τις διορθώσεις που πρέπει να κάνετε στις έντυπες Σημειώσεις.

Πρόχειρες Σημειώσεις: Πολυώνυμα κόμβων (in English).
Πρόχειρες Σημειώσεις: Πολυώνυμο Kauffman. Πολυώνυμο Jones. (in English).

Φυλλάδιο 5: Πολυώνυμα κόμβων.


Εβδομάδα 6, 29/10 - 2/11:

Εφαρμογές πολυώνυμου Jones.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Αριθμός διασταυρώσεων σε εναλλασσόμενα διαγράμματα (in English).

Την Πέμπτη, 1/11, η πρώτη ώρα θα αφιερωθεί στη συζήτηση των Ασκήσεων του Φυλλαδίου 1.
Υποδείξεις στο Φυλλάδιο 1.

Φυλλάδιο 6: Πολυώνυμo Jones.


Εβδομάδα 7, 5/11 - 9/11:

Στερεοχημική Τοπολογία.
Χειρικότητα στη Θεωρία Κόμβων και στη Χημεία.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Στερεοχημική Τοπολογία (in English).

Η πρώτη ώρα κάθε διάλεξης θα αφιερωθεί στη συζήτηση των Ασκήσεων των Φυλλαδίων 2 και3.


Εβδομάδα 8, 12/11 - 16/11:

Η Τοπολογία του DNA.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Τοπολογία του DNA (in English).

Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων: Τοπολογικό γινόμενο, Χώρος πηλίκο.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων (in English).

Φυλλάδιο 8: Νέοι τοπολογικοί χώροι..


Εβδομάδα 9, 19/11 - 23/11:

Ιδιότητες τοπολογικών χώρων: Κλειστότητα. Συμπάγεια.
Πρόχειρες Σημειώσεις: Ιδιότητες τοπολογικών χώρων: (in English).


Εβδομάδα 10, 26/11 - 30/11:

Ιδιότητες τοπολογικών χώρων: Συνεκτικότητα.

Φυλλάδιο 9: Ιδιότητες τοπολογικών χώρων..

Προσανατολισιμότητα επιφανειών.
Επιφάνειες. Προσανατολισιμότητα (in English).


Εβδομάδα 11, 3/12 - 7/12:

Η Ταξινόμηση των επιφανειών.


Εβδομάδα 12, 10/12 - 14/12:

Ομοτοπία.


Εβδομάδα 13, 17/12 - 21/12:

Οι θεμελιώδεις ομάδες των επιφανειών.