Moebius

1. Μετασχηματισμοί Moebius

Οι μετασχηματισμοί Moebius είναι από τις πιό απλές απεικονίσεις του μιγαδικού επιπέδου στον εαυτό του. Ορίζονται ως πηλίκα γραμμικών παραστάσεων που εκφάζεται με πίνακα πραγματικών αριθμών

Οι κύριες ιδιότητες των μετασχηματισμών Moebius είναι:
[1] Αποτελούν ομάδα, όπου η σύνθεση αντιστοιχεί στο γινόμενο πινάκων.
[2] Είναι σύμμορφες απεικονίσεις δηλαδή διατηρούν τις γωνίες.
[1] Διατηρούν τον διπλό-λόγο τεσσάρων μιγαδικών αριθμών.
[3] Απεικονίζουν το σύνολο των ευθειών και κύκλων στον εαυτό του.
[5] Καθορίζονται πλήρως από τρία σημεία σε γενική θέση και τις εικόνες τους.

2. Μετασχηματισμοί Moebius και τρίγωνα

Σταθεροποιώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο A₀B₀C₀ του επιπέδου και χρησιμοποιώντας την ιδιοτητα [5] παραπάνω, μπορούμε να ορίσουμε γιά κάθε άλλο τρίγωνο ABC του επιπέδου έναν μοναδικό μετασχηματισμό Moebius F που απεικονίζει τις κορυφές του ισοπλεύρου στις αντίστοιχες κορυφές του τριγώνου ABC. Παρόλο που η απεικόνιση αυτή δεν διατηρεί τις ευθείες ορίζει ενδιαφέρουσες αντιστοιχίσεις μεταξύ στοιχείων του ισοπλεύρου και αυτών του τριγώνου ABC. Τα στοιχεία αυτά έχουν με τον ένα ή τον άλλο τρόπο κάποια σχέση με τον διπλό λόγο, ο οποίος διατηρείται από αυτό το είδος απεικονίσεων.

Θεώρημα-1
[1] Η F απεικονίζει τον περίκυκλο του Α₀B₀C₀ σε αυτόν του ABC.
[2] Η F απεικονίζει τους άξονες συμμετρίας του A₀B₀C₀ στους Απολλώνιους κύκλους του ABC.
[3] Το περίκεντρο του A₀B₀C₀ απεικονίζεται μέσω της F στο πρώτο ισοδυναμικό σημείο J (περιεχόμενο στον περίκυκλο) του ABC. Το σημείο στο άπειρο απεικονίζεται μέσω της F στο δεύτερο ισοδυναμικό σημείο J' του ABC.
[4] Η δέσμη των ευθειών διά του περικέντρου Ο του A₀B₀C₀ απεικονίζεται μέσω της F στην δέσμη (I) των κύκλων που διέρχονται από τα δύο ισοδυναμικά σημεία του ABC. Η δέσμη των συγκεντρικών κύκλων του περικύκλου του A₀B₀C₀ απεικονίζεται με την F στην δέσμη (II) των κύκλων που είναι ορθογώνιοι στην δέσμη (I). Η δέσμη (ΙΙ) περιέχει τον περίκυκλο του ABC, τον κύκλο Brocard του ABC και τον άξονα Lemoine αυτού.

Οι αποδείξεις προκύπτουν εύκολα από τις αναφερθήσες ιδιότητες των μετασχηματισμών Moebius.
Η [1] προκύπτει από την διατήρηση κύκλων από τέτοιους μετασχηματισμούς.
Η [2]: Η εικόνα του άξονα συμμετρίας A₀A₁ θα είναι κύκλος k ορθογώνιος στον περίκυκλο του ABC. Παίρνοντας το διαμετρικό A₁ του A₀ ορίζουμε το τετράπλευρο A₀B₀A₁C₀ που είναι αρμονικόδηλαδή, ο διπλός λόγος (B₀, C₀, A₀, A₁) = -1. Από την διατήρηση του διπλού λόγου μέσω της F, το σημείο τομής A* του k με τον περίκυκλο του ABC θα ορίζει επίσης ένα αρμονικό τετράπλευρο (B, C, A, A*) = -1. Τούτο όμως είναι γνωστό ότι είναι το άλλο σημείο τομής της συμμετροδιαμέσου από το Α με τον περίκυκλο, που είναι και ένα σημείο του Απολλώνιου κύκλου διά του Α. Τούτο ταυτίζει τον k με τον Απολλώνιο κύκλο διά του A.
Το [3] είναι συνέπεια του [2], επειδή τα ισοδυναμικά σημεία είναι τα κοινά σημεία τομής των Απολλωνίων κύκλων.
Το [4] είναι συνέπεια του [3] και την σύμμορφική ιδιότητα της F. Η δέσμη (II) είναι η ορθογώνια δέσμη της (I) όπως ακριβώς συμβαίνει και με τις προ-εικόνες τους μέσω της F.

3. Λήμμα γιά τους μετασχηματισμούς Moebius

Εάν ένας μετασχηματισμός Moebius F απεικονίζει ευθεία/κύκλο (e) σε κύκλο (k), τότε ορίζει και συζυγία της αντίστοιχης ανάκλασης/αντιστροφής R_e ως προς την (e) με την αντιστροφή I_k ως προς τον κύκλο k, δηλαδή

Στην περίπτωση που η (e) είναι ευθεία θεώρησε πρώτα το σημείο στο άπειρο I και την εικόνα του J=F(I) μέσω της F. Αφού κάθε ευθεία διέρχεται διά του I, η εικόνα της θα διέρχεται διά του J. Έτσι, ο κύκλος k=F(e) και η εικόνα της ευθείας k_z = F(e_z), όπου e_z είναι ευθεία διερχόμενη διά του z και ορθογώνια προς την e, θα τέμνονται στο J.
Επειδή η F είναι σύμμορφη η k_z θα είναι κύκλος ή ευθεία διερχόμενη διά του J, ορθογώνια της k και διερχόμενη επίσης από το w = F(z). Έστω τώρα z' το κατοπτρικό του z ως προς e και z₀ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος zz', που είναι ένα σημείο της e. Οι εικόνες τους w'=F(z') και w₀ = F(z₀) είναι σημεία του κύκλου/ευθείας k_z. Επιπλέον ο διπλός λόγος (I, z₀, z, z') = -1 και συνεπώς η διατήρησή του από την F θα δίδει ότι και (J, w₀, w, w') = -1. Έτσι, εάν η k_z είναι ευθεία τότε τα {w,w'} είναι αντίστροφα ως προς k. Εάν ο k_z είναι κύκλος, τότε η συνθήκη αυτή σημαίνει ότι το τετράπλευρο Jww₀w' είναι αρμονικό, άρα, από τις γενικές ιδιότητες αρμονικών τετραπλεύρων, οι δύο απέναντι κορυφές {w,w'} είναι αντίστροφες ως προς τον κύκλο που είναι ορθογώνιος στον περίκυκλο του τετραπλεύρου και διέρχεται από τις δύο άλλες κορυφές, δηλαδή τα {w,w'} είναι αντίστροφα ως προς k, όπως στον ισχυρισμό. Αυτά αποδεικνύουν την πρόταση στην περίπτωση που η (e) είναι ευθεία.
Εάν ο (e) είναι κύκλος το επιχείρημα είναι το ίδιο. Αρκεί κανείς να θεωρήσει σημεία {z, z', z₀, z₁} όπως και προηγουμένως, με μία διαφορά, κατά την οποία το z₁ είναι τώρα το άλλο σημείο τομής από το z₀, της ευθείας zz' με τον κύκλο (e), αντικαθιστώντας το σημείο στο άπειρο I του προηγουμένου επιχειρήματος. Το επομενο σχήμα δείχνει τους συσχετισμούς και το αρμονικό τετράπλευρο.

Πόρισμα
Με τις προϋποθέσεις του προηγουμένου θεωρήματος ισχύει:
[1] Οι αντιστροφές ως προς τους Απολλώνιους κύκλους του ABC είναι συζυγείς μέσω της F προς τις ανακλάσεις ως προς τους άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου A₀B₀C₀.
[2] Η αντιστροφή ως προς τον περίκυκλο του ABC είναι συζυγής μέσω της F προς την αντιστροφή ως προς τον περίκυκλο του ισοπλεύρου A₀B₀C₀.

4. Οι άξονες των Brocard και Lemoine

Με τις προϋποθέσεις του θεωρήματος-1, υπάρχει μιά ειδική ευθεία (e) διά του κέντρου Ο του ισοπλεύρου που απεικονίζεται μέσω της F στον άξονα Brocard (που είναι μέλος της δέσμης (I)) του τριγώνου που περιέχει τα ισοδυναμικά σημεία {J, J'} και διέρχεται από το περίκεντρο Q του ABC. Υπάρχει επίσης ένας κύκλος (k), συγκεντρικός του περικύκλου του ισοπλεύρου, που απεικονίζεται στον άξονα Lemoine (που είναι μέλος της δέσμης (II)) του τριγώνου ABC.

Θεώρημα-2
[1] Οι προ-εικόνες {K₁, Q₁} της F του συμμετροδιάμεσου σημείου K και του περικέντρου Q του τριγώνου ABC είναι δύο σημεία της (e) συμμετρικά ως προς το περίκεντρο του ισοπλεύρου. Ο κύκλος με διάμετρο K₁Q₁ απεικονίζεται στον κύκλο Brocard του τριγώνου ABC.
[2] Τα σημεία τομής {L₀, I₀} της ευθείας (e) και του κύκλου (k) απεικονίζονται μέσω της F αντίστοιχα στο σημείο τομής L των αξόνων Lemoine και Brocard και στο σημείο στο άπειρο I.

Αυτά είναι συνέπειες του ότι ο κύκλος Brocard με διάμετρο QK και ο άξονας Lemoine ανήκουν στην δέσμη (II) που είναι εικονα μέσω της F της δέσμης κύκλων με κέντρο το O.
Παρατήρηση Επειδή η F διατηρεί διπλούς λόγους κατά μήκος της (e), το L₀ είναι αρμονικό συζυγές του K₁ ως προς τα σημεία τομής {z,z'} της (e) με τον περίκυκλο του ισοπλεύρου (ισοδύναμα: τα {L₀, K₁} είναι αντίστροφα ως προς τον περίκυκλο του ισοπλεύρου).

5. Σημεία και γωνία του Brocard

Θεώρημα-3
[1] Τα σημεία του Brocard {W, W'} του τριγώνου ABC έχουν προ-εικόνες ως προς F τις άλλες δύο κορυφές του ισοπλεύρου εγγεγραμμένου στον κύκλο με διάμετρο K₁Q₁ και μία κορυφή στο Q₁.
[2] Η γωνία Brocard του τριγώνου ABC ισούται με την γωνία μεταξύ της ευθείας (e) και του κύκλου (f₀), που είναι ορθογώνιος στον περίκυκλο του ισοπλεύρου και διέρχεται από τα σημεία {I₀, Q₁, W₁}.

Ο πρώτος ισχυρισμός προκύπτει από το γεγονός ότι ο κύκλος της δέσμης (I) που διέρχεται από το σημείο Brocard W τέμνει τον άξονα Brocard κατά γωνία 120 μοιρών. Άρα η προ-εικόνα του, που είναι η γωνία OW₁, σχηματίζει την ίδια γωνία με την (e). Ο δεύτερος ισχυρισμός προκύπτει από το ότι ο κύκλος (f₀) που διέρχεται από τα σημεία {I₀, Q₁, W₁} απεικονίζεται μέσω της F στην ευθεία QW.
Παρατήρηση Από την σχετική θέση του κύκλου (f₀) διερχομένου από τα σημεία {I₀, Q₁, W₁} ως προς το ισόπλευρο Q₁W₁W₂ βλέπουμε ότι η γωνία Brocard είναι πάντοτε μικρότερη των 30 μοιρών.

6. Το διάγραμμα Moebius τριγώνου

Ονομάζω διάγραμμα Moebius του τριγώνου το αριστερό μέρος του προηγουμένου σχήματος, που ορίζεται από τα επόμενα στοιχεία:
(i) Το ισόπλευρο A₀B₀C₀,
(ii) Την ευθεία (e) από το κέντρο του ισοπλεύρου,
(iii) Το σημείο I₀ επί της ευθείας (e).
Σταθεροποιώντας το ισόπλευρο, φαίνεται ότι μπορούμε να παραμετρίσουμε όλα τα τρίγωνα του επιπέδου μέσω ζευγών (e, I₀). Πράγματι, όπως είδαμε στα προηγηθέντα, κάθε τρίγωνο ABC παράγει ένα μοναδικό τέτοιο διάγραμμα μέσω του μετασχηματισμού Moebius F που απεικονίζει τις κορυφές του ισοπλεύρου σε αντίστοιχες κορυφές του ABC.
Υπάρχει ωστόσο ένα λεπτό σημείο που πρέπει να επισημανθεί. Υπόθεσε ότι τα δύο τρίγωνα A₁B₁C₁ και A₂B₂C₂ ορίζουν τα διαγράμματα Moebius (e₁, I₁) και (e₂, I₂) ως προς τους μετασχηματισμούς Moebius {F₁, F₂}, που απεικονίζουν το ισόπλευρο στα αντίστοιχα τρίγωνα. Προφανώς η σύνθεση

είναι μετασχηματισμός Moebius που απεικονίζει το ένα τρίγωνο στο άλλο. Η G διατηρεί τα ισοδυναμικά σημεία, αφού οι προ-εικόνες τους μέσω των F_i είναι πάντοτε τα ίδια δύο σημεία: το κέντρο του ισοπλεύρου και το σημείο στο άπειρο. Εν γένει όμως η G δεν αντιστοιχεί τον άξονα Brocard του πρώτου τριγώνου στον άξονα Brocard του δευτέρου. Στην πραγματικότητα η εικόνα του πρώτου Brocard άξονα μέσω της G μπορεί να μη είναι καν ευθεία.

Η προηγούμενη εικόνα δείχνει μιά τέτοια περίπτωση. Οι ευθείες {b₁, b₂} είναι οι άξονες Brocard των δύο τριγώνων. Ο μετασχηματισμός G στέλνει την b₁ εν γένει σε κύκλο G(b₁) και όχι τον b₂. Το αρμονικό τετράπλευρο που φαίνεται έχει κορυφές τις εικόνες των ισοδυναμικών σημείων του πρώτου τριγώνου, που είναι τα ισοδυναμικά σημεία του δευτέρου, και τις εικόνες του μέσου L₁ και του σημείου στο άπειρο I.
Υπάρχουν εν τούτοις περιπτώσεις όπου η G(b₁) και η b₂ συμπίπτουν. Μιά τέτοια λ.χ. συμβαίνει όταν τα τρίγωνα είναι όμοια. Η περίπτωση αυτή εξετάζεται στο αρχείο MoebiusDiagram.html .

Δείτε ακόμη

Απολλώνιοι κύκλοι
Αρμονικό τετράπλευρο
Αρμονική διαίρεση
Σημεία και γωνία Brocard
Διπλός λόγος
Διπλός λόγος μιγαδικών
Ισοδυναμικά σημεία
Διάγραμμα Moebius

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd Ed. New York, Barnes and Noble, 1952.
Schwerdtfeger, Hans Geometry of complex numbers New York, Dover, 1979.
F.G.M. Ασκήσεις Γεωμετρίας (Ιησουϊτών) Εκδόσεις Α.Καραβία, 1952, p. 474.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/