ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Εαρινό Εξάμηνο 2026

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες Διδασκαλίας: Τρίτη και Πέμπτη 3:20-5:15 στη A208.

Ώρες Γραφείου: Τρίτη και Πέμπτη 5:15-6:15.

Βασικό Συγγράμα:
(1) Σημειώσεις Γιαννόπουλου εδώ.

Βοηθητικά Συγγράματα:
(2) Προπτυχιακές σημειώσεις Γιαννόπουλου εδώ.
(3) Mεταπτυχιακές σημειώσεις Μήτση εδώ.
(4) J. Conway, Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics v. 96.
(5) P. Lax, Functional Analysis. Wiley Series.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: (I) Xώροι Banach: Κλασικά παραδείγματα, διαχωρισιμότητα, συμπάγεια, βάσεις Hamel και βάσεις Schauder, χώροι πεπερασμένης διάστασης, θεώρημα Baire και εφαρμογές.
(IΙ) Τελεστές σε χώρους Banach: Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, κλασικοί δυϊκοί χώροι, αρχή ομοιόμορφου φράγματος, θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης και κλειστού γραφήματος, θεώρημα Hahn-Banach, διαχωριστικά θεωρήματα, θεωρήματα σταθερού σημείου, εφαρμογές.
(IΙI) Xώροι Hilbert και συμπαγείς τελεστές: χώροι Hilbert, προβολές και ορθογώνιο συμπλήρωμα, ορθοκανονικές βάσεις, τύπος Parseval, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, συζυγής τελεστής, εργοδικό θεώρημα von Neumann, τελεστές Hilbert-Schmidt, συμπαγείς τελεστές και φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές.
(IV) Προχωρημένα θέματα: Η ασθενής και ασθενής* τοπολογία, ασθενής συμπάγεια, δεύτερος δυϊκός και αυτοπαθείς χώροι, τοπικά κυρτοί χώροι, ακραία σημεία, θεώρημα Krein-Milman, ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις και εφαρμογές.

Έμφαση θα δοθεί και σε εφαρμογές της συναρτησιακής ανάλυσης σε άλλους τομείς των μαθηματικών: πραγματικές συναρτήσεις, θεωρία προσέγγισης, θεωρία μέτρου, ανάλυση Fourier, μιγαδική ανάλυση, διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις, κτλ.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος: 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

04/02: Θα ξεκινήσουμε την επόμενη Τρίτη 10 Φεβρουαρίου 3:15-5:00 στην αίθουσα A208. Παρακαλώ κάντε μία επανάληψη σε κάποιες βασικές ανισότητες και βασικές έννοιες θεωρίας μέτρου (δείτε εδώ) και μετρικών χώρων (δείτε τα πρώτα δύο κεφάλαια εδώ και σελίδες 1-31 εδώ). Το μάθημα θα γίνει στα Αγγλικά μιας και θα έχουμε και έναν φοιτητή Erasmus.

24/03: Tην Τρίτη 31/3 το μάθημα θα γίνει 5:00-7:00 στην αίθουσα Α208.

24/03: Πρόοδος την Παρασκευή 24 Απριλίου 11:00-15:00 στην αίθουσα Α208.

24/04: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (10, 12 Φεβρουαρίου): Επανάληψη σε βασικές ανισότητες (Holder, Minkowski), βασικές έννοιες μετρικών χώρων (πληρότητα, διαχωρισιμότητα, συμπάγεια), και βασικές έννοεις θεωρίας μέτρου (χώροι μέτρου, κανονικά μέτρα, οριακά θεωρήματα και θεωρήματα προσέγγισης), χώροι με νόρμα, βασικές ιδιότητες, κλασικά παραδείγματα, χώροι ακολουθιών, χώροι συναρτήσεων (μέρος από την παράγραφο 1.1 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

2η Εβδομάδα (17, 19 Φεβρουαρίου): Χώροι Banach, απόδειξη πληρότητας για κλασικά παραδείγματα, διαχωρισιμότητα και συμπάγεια, παραδείγματα (μέρος από την παράγραφο 1.1 και 1.4 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

3η Εβδομάδα (24, 26 Φεβρουαρίου): Bάσεις Hamel και βάσεις Schauder, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες χώρων πεπερασμένης διάστασης, ισοδυναμία νορμών, πληρότητα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας, μη συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε απειροδιάστατους χώρους (μέρος από την παράγραφο 1.3 και 4.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις αντίστοιχες παράγραφους από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

4η Εβδομάδα (3, 5 Μαρτίου): Το θεώρημα Baire και εφαρμογές, θεώρημα Osgood, συνεχείς πουθενά παραγωγίσιμες συναρτήσεις, γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα (παράγραφος 2.4, 5.1, 5.2, 5.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου).

5η Εβδομάδα (10, 12 Μαρτίου): Γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα, πληρότητα δυικού χώρου, ο δυικός των χώρων l_p, C[a,b], L_p[a,b] (μέρος από τις παραγράφους 5.1, 5.2, 5.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου, μέρος από την παραγράφο 2.5 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου, δείτε επίσης την 6.3 για την απόδειξη του θεωρήματος αναπαράστασης του Riesz).

6η Εβδομάδα (17, 19 Μαρτίου): Aρχή ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές (αποκλίνουσες σειρές Fourier), θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης και εφαρμογές (μετασχηματισμός Fourier δεν είναι επί του c_0), (μέρος από τις παραγράφους 3.1, 3.2 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφος 8.1, 8.2 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

7η Εβδομάδα (24, 26 Μαρτίου): Θεώρημα κλειστού γραφήματος και εφαρμογές, λήμμα Zorn και εφαρμογές (ύπαρξη βάσης Hamel, επεκτάσεις συναρτησοειδών), θεώρημα Hahn-Banach και πρώτες απλές εφαρμογές (μέρος από τις παραγράφους 3.2, 2.2, 2.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφοι 7.1, 8.2, 8.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

8η Εβδομάδα (31 Μαρτίου): Εφαρμογές Hahn-Banach στη συναρτησιακή ανάλυση (χαρακτηρισμός κλειστότητας γραμμικού χώρου, διαχωρισιμότητα δυικού συνεπάγεται διαχωρισιμότητα χώρου) και σε άλλους τομείς της ανάλυσης (Banach-limits, πεπερασμένα προσθετικά μέτρα στην ευθεία), (μέρος από την παράγραφο 2.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις παραγράφους 3.3, 4.2, 4.3 από το βιβλίο του Lax).

9η Εβδομάδα (21, 23 Απριλίου): Επιπλέον εφαρμογές Hahn-Banach στη συναρτησιακή ανάλυση (διαχωρισμός κυρτών συνόλων) και σε άλλους τομείς της ανάλυσης (θεωρήματα προσέγγισης Muntz και εκθετικών βαρών), χώροι με εσωτερικό γινόμενο, παραδείγματα, καθετότητα, ορθοκανονικά σύνολα, μέθοδος ορθοκανικοποίησης Grahm-Schmidt, προβολές σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, ανισότητα Bessel και εφαρμογές σε ανάλυση Fourier (μέρος από τις παραγράφους 1.6, 2.4 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις παραγράφους 6.1, 6.2 από τις προπτυχιακές σημειώσεις, και τις παραγράφους 9.1, 9.2, 9.3 από το βιβλίο του Lax).

10η Εβδομάδα (28, 30 Απριλίου): Προβολές και θεώρημα διάσπασης, ορθοκανονικές βάσεις, ταυτότητα Parseval, συντελεστές Fourier, εφαρμογές σε αρμονική ανάλυση, Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, βασικά παραδείγματα τελεστών σε χώρους Hilbert: πεπερασμένης διάστασης, διαγώνιοι, πολλαπλασιασμού, ολοκληρωτικοί, μεταφοράς, μετασχηματισμοί που διατηρούν κάποιο πεπερασμένο μέτρο (μέρος από τις παραγράφους 1.6 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις παραγράφους 6.3, 6.4, 6.5 από τις προπτυχιακές σημειώσεις μέρος από την παραγράφο ΙΙ.1 από το βιβλίο του Conway).

11η Εβδομάδα (3,5 Μαϊου): Συζυγής τελεστής και παραδείγματα, αυτοσυζυγείς, μοναδιαίοι, και φυσιολογικοί τελεστές και παραδείγματα, θεώρημα σύγκλισης von Neumann για ισομετρίες και εφαρμογή στην εργοδική θεωρία (εργοδικό θεώρημα), συμπαγείς τελεστές, ικανές και αναγκαίες συνθήκες για συμπάγεια διαγώνιων τελεστών, τελεστές Hilbert Schmidt, συμπάγεια ολοκληρωτικών τελεστών (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.2, ΙΙ.4 από το βιβλίο του Conway).

Φυλλάδια Ασκήσεων