ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ)

Χειμερινό Εξάμηνο 2024

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Τετάρτη 15:15-17:00 στη Α212.

Κύριο Σύγγραμμα: Ε. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis. Princeton Lectures in Analysis (Book 3).

Αλλα Συγγράματα: (1) R. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis.
(2) N. Carothers, Real Analysis (Part III). (3) G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, μετρήσιμα σύνολα και μέτρο Lebesgue, μη μετρήσιμα σύνολα, μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα προσέγγισης, θεώρημα Egorov και Lusin, ολοκλήρωμα Lebesgue, βασικές ιδιότητες και οριακά θεωρήματα, πληρότητα χώρου ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα προσέγγισης από κλιμακωτές και συνεχείς, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας, θεωρία μέτρου σε γενικούς χώρους με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή και εφαρμογές, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym, μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού.

Ώρες γραφείου: Δευτέρα 14:00-15:00 και Τετάρτη 17:00-18:00.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

17/9: Το πρώτο μάθημα θα γίνει τη Δευτέρα 23/9.

17/10: Τα μαθήματα πλέον θα γίνονται στην A212.

30/10: Την Παρασκευή 1/11 θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα στις 4:15-6:00 στην A212.

6/11: Η πρόοδος θα γίνει την Δευτέρα 18 Νοεμβρίου 3:10-5:10 στην αίθουσα A212.
Ύλη: Ότι θα κάνουμε μέχρι τις 6 Νοεμβρίου. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως λύσεις ασκήσεων).

30/10: Την Παρασκευή 8/11 θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα στις 1:15-3:00 στην A212.

20/11: Tα θέματα της προόδου είναι εδώ.

4/12: Την Παρασκευή 13/12 θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα στις 11:15-13:00 στην A212.

11/12: Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 24 Ιανουαρίου στις 11:15-15:00 στην Α212. Θα εξεταστείτε σε όλη την ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

16/12: Την Τετάρτη 22 Ιανουαρίου θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα ασκήσεων στις 11:15-1:00 στην A212.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (23, 25 Σεπτεμβρίου): Δομή ανοιχτών υπoσυνόλων του ευκλείδιου χώρου, εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, πρώτες βασικές ιδιότητες και παραδείγματα υπολογισμού εξωτερικού μέτρου. Σελίδες xv-xix και 1-11 από το κύριο σύγγραμμα.

2η Εβδομάδα (30 Σεπτεμβρίου, 2 Οκτωβρίου): Tο σύνολο Cantor, επιπλέον βασικές ιδιότητες εξωτερικού μέτρου, μετρήσιμα σύνολα, βασικές ιδιότητες. Σελίδες 8-18 από το κύριο σύγγραμμα.

3η Εβδομάδα (9, 11 Οκτωβρίου): Μέτρο Lebesgue, αριθμήσιμη προσθετικότητα, θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων από απλούστερα σύνολα, σύνολα Borel, παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου (σύνολο Vitali), απόδειξη ότι το εξωτερικό μέτρο δεν είναι 2-προσθετικό. Σελίδες 19-26 από το κύριο σύγγραμμα.

4η Εβδομάδα (14, 16 Οκτωβρίου): Mετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, Riemann ολοκληρώσιμη συνεπάγεται σχεδόν παντού συνεχής, η συνάρτηση Cantor-Lebesgue, θεώρημα Egorov. Σελίδες 27-30, 33-34, 38 και 48 από το κύριο σύγγραμμα.

5η Εβδομάδα (21, 23 Οκτωβρίου): Θεωρήματα προσέγγισης (κατά σημείο) από απλές, κλιμακωτές, και συνεχείς συναρτήσεις, θεώρημα Lusin, oρισμός ολοκληρώματος Lebesgue για απλές συναρτήσεις, Σελίδες 31-34, 49-52 από το κύριο σύγγραμμα και 311-316 από το βιβλίο του Carothers.

6η Εβδομάδα (30 Οκτωβρίου, 1 Νοεμβρίου): Oρισμός ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, πρώτες βασικές ιδιότητες. οριακά θεωρήματα (φραγμένης, μονότονης, και κυριαρχημένης σύγκλισης, λήμμα Fatou), Σελίδες 52-67 και 71-73 από το κύριο σύγγραμμα.

7η Εβδομάδα (4, 6, 8 Νοεμβρίου): Εναλλαγή άπειρου αθροίσματος και ολοκληρώματος, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, θεωρήματα προσέγγισης στον L^1 από κλιμακωτές και συνεχείς, εφαρμογές θεωρημάτων προσέγγισης. O χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, πληρότητα, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, προετοιμασία για το θεώρημα Fubini. Σελίδες 68-73 και 75-76 από το κύριο σύγγραμμα.

8η Εβδομάδα (13 Νοεμβρίου): Λύση ασκήσεων από Φυλλάδια 1-4.

9η Εβδομάδα (18, 20 Νοεμβρίου): Πρόοδος, απόδειξη θεωρήματος Fubini. Σελίδες 75-80 από το κύριο σύγγραμμα.

10η Εβδομάδα (25, 27 Νοεμβρίου): Θεώρημα Tonelli και εφαρμογές τους, γράφημα μετρήσιμης συνάρτησης και εμβαδό κάτω από το γράφημα, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας, παραδείγματα γενικών χώρων με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή. Σελίδες 75-86, άσκηση 21, σελίδες 108-114 (αποδείξαμε όμως μόνο σύγκλιση στον L^1) και 261-268 από το κύριο σύγγραμμα.

11η Εβδομάδα (2, 4 Δεκεμβρίου): Προ-μέτρα σε άλγεβρες και ημιάλγεβρες, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή, μέτρα γινόμενο, χαρακτηρισμός μέτρων πιθανότητας στην πραγματική ευθεία, διακριτά, απόλυτα συνεχή, συνεχή ιδιάζοντα μέτρα. Σελίδες 269-273, 276-277, 282-285 από το κύριο σύγγραμμα.

12η Εβδομάδα (9, 11, 13 Δεκεμβρίου): Γενικοί χώροι με μέτρο, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωση, οριακά θεωρήματα, θεωρήματα προσέγγισης για σ-πεπερασμένα μέτρα Borel, θεώρημα Fubini και Tonelli, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn και διάσπαση Jordan, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym. Σελίδες 273-279, 285-289 από το κύριο σύγγραμμα και 85-91 από το βιβλίο του Folland.

13η Εβδομάδα (16, 18 Δεκεμβρίου): Μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού. Σελίδες 98-108, 127-130, από το κύριο σύγγραμμα.

Φυλλάδια Ασκήσεων