ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ)
Χειμερινό Εξάμηνο 2024
Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.
E-mail: frantzikinakis@gmail.com.
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Τετάρτη 15:15-17:00 στη E205.
Κύριο Σύγγραμμα:
Ε. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis.
Princeton
Lectures in Analysis (Book 3).
Αλλα Συγγράματα:
(1) R. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis.
(2) N. Carothers, Real Analysis (Part III).
(3) G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications.
Γραφείο: Γ307.
Ύλη: Εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, μετρήσιμα σύνολα και μέτρο Lebesgue,
μη μετρήσιμα σύνολα, μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα προσέγγισης,
θεώρημα Egorov και Lusin, ολοκλήρωμα Lebesgue, βασικές ιδιότητες και οριακά θεωρήματα,
πληρότητα χώρου ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα
προσέγγισης από κλιμακωτές και συνεχείς, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους,
θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας,
θεωρία μέτρου σε γενικούς χώρους με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή,
θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή και εφαρμογές, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn,
απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym,
μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue,
απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού.
Ώρες γραφείου: Δευτέρα 14:00-15:00 και Τετάρτη 17:00-18:00.
Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.
Ανακοινώσεις
17/9:
Το πρώτο μάθημα θα γίνει τη Δευτέρα 23/9.
26/9:
Το μάθημα θα γίνεται πλέον στην E205.
30/9:
Τη Δευτέρα 7/10 δεν θα κάνουμε μάθημα, θα κάνουμε όμως μάθημα την Παρασκευή 11/10 στις 9:15-11:00 στην E205.
Ημερολόγιο Μαθήματος
1η Εβδομάδα (23, 25 Σεπτεμβρίου): Δομή ανοιχτών υπoσυνόλων του ευκλείδιου
χώρου, εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, πρώτες βασικές ιδιότητες και παραδείγματα υπολογισμού εξωτερικού
μέτρου. Σελίδες xv-xix και 1-11 από το κύριο σύγγραμμα.
2η Εβδομάδα (30 Σεπτεμβρίου, 2 Οκτωβρίου): Tο σύνολο Cantor, επιπλέον βασικές ιδιότητες εξωτερικού μέτρου,
μετρήσιμα σύνολα, βασικές ιδιότητες.
Σελίδες 8-18 από το κύριο σύγγραμμα.
Φυλλάδια Ασκήσεων
1ο Φυλλάδιο