MoebiusDiagram

1. Το διάγραμμα Moebius ενός τριγώνου

Ονομάζω διάγραμμα Moebius του τριγώνου την τριάδα των επομένων στοιχείων:
(i) Ένα ισόπλευρο τρίγωνο A₀B₀C₀,
(ii) Μία ευθεία (e) διερχόμενη από το κέντρο του ισοπλεύρου,
(iii) Ένα σημείο I₀ της ευθείας (e).

Ένα διάγραμμα Moebius προκύπτει ορίζοντας έναν μετασχηματισμό Moebius F που απεικονίζει το ισόπλευρο A₀B₀C₀ σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC, με την έννοια ότι η F απεικονίζει κορυφές {A₀, B₀, C₀} σε αντίστοιχες κορυφές {A, B, C}.
Μέσω ενός τέτοιου μετασχηματισμού η ευθεία (e) είναι προ-εικόνα του άξονα Brocard του ABC και το I₀ είναι προ-εικόνα του σημείου στο άπειρο.
Εδώ δείχνω ότι ένα τέτοιο διάγραμμα αντιστοιχεί μονοσήμαντα σε μιά κλάση ομοιότητας τριγώνων.

Προς τούτο σταθεροποιώ το ισόπλευρο και τον περίκυκλό του c₀ και θεωρώ όλα τα τρίγωνα ABC που εγγράφονται σε δοθέντα κύκλο c. Επειδή η μελέτη αφορά κλάσεις ομοιότητας τριγώνων, αυτό δεν αποτελεί περιορισμό της γενικότητας. Η προετοιμασία γιά την συζήτηση αυτή έγινε στο Moebius.html .

Εκεί είδαμε ότι η F απεικονίζει το αντίστροφο Q₁ του I₀ ως προς τον κύκλο c₀ στο περίκεντρο Q του ABC. Είδαμε επίσης ότι το συμμετρικό K₁ του Q₁ ως προς το O απεικονίζεται στο συμμετροδιάμεσο σημείο K του ABC. Αποδείχθηκε επίσης ότι οι άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου απεικονίζονται μέσω της F στους Απολλώνιους κύκλους του ABC. Άρα η γωνία (φ) μεταξύ ενός τέτοιου άξονα και της ευθείας (e) ισούται με την γωνία μεταξύ του Απολλωνίου κύκλου και του άξονα Brocard. Τούτο συνεπάγεται ότι τα τρίγωνα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές γωνίες (φ) αλλά έχουν την ίδια απόσταση του Ι₀ από το Ο είναι equi-brocardian (έχουν την ίδια γωνία Brocard) με το ABC και είναι εγγεγραμμένα στο c.

Θεώρημα-1 Κάθε τρίγωνο A'B'C' εγγεγραμμένο στον κύκλο (c) και έχον την ίδια γωνία Brocard με το ABC ορίζει ένα διάγραμμα Moebius (e', I₀') που προκύπτει από το (e, I₀) μέσω περιστροφής περί το O κατά ορισμένη γωνία φ.

Το θεώρημα προκύπτει αμέσως από το γεγονός ότι τα equi-brocardian τρίγωνα τα εγγεγραμμένα στον (c) προκύπτουν από τον ίδιο μετασχηματισμό Moebius F, εφαρμόζοντάς τον όμως σε ένα άλλο ισόπλευρο A₁B₁C₁ εγγεγραμμένο στον κύκλο c₀. Όλα αυτά τα τρίγωνα μοιράζονται τον ίδιο άξονα Brocard, τα ίδια σημεία Brocard και τα ίδια ισοδυναμικά σημεία. Άρα η αντίστοιχη ευθεία τους e' συμπιπτει με την e, ενώ το αντίστοιχο σημείο I₀' έχει την ίδια απόσταση από το O με το Ι₀. Περιστρέφοντας όλο το σχήμα περί το O κατά την γωνία A₁OA₀ ταυτίζουμε το A₁B₁C₁ με το τρίγωνο A₀B₀C₀ και αποδεικνύουμε τον ισχυρισμό.

2. Αντιστοίχιση στην κλάση ομοιότητας

Θεώρημα-2 Δύο τρίγωνα είναι ευθέως όμοια (όχι με αντιστροφή του προσανατολισμού τους) τότε και μόνον τότε όταν έχουν το ίδιο διάγραμμα.

Το θεώρημα προκύπτει σαν πόρισμα του προηγουμένου θεωρήματος, αφού όμοια τρίγωνα έχουν την ίδια γωνία Brocard και κάθε κλάση ομοιότητας έχει μοναδικό αντιπρόσωπο (με απροσδιοριστία ως προς περιστροφή) μεταξύ των equi-brocardian της εγγεγραμμένων στον κύκλο (c). Όμως και μιά κατ' ευθείαν απόδειξη είναι εξίσου εύκολη. Πράγματι, αν τα τρίγωνα ABC και A'B'C' είναι όμοια και οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί Moebius είναι οι F και F', τότε η σύνθεση

είναι μετασχηματισμός Moebius μεταξύ των τριγώνων που συμπίπτει με την ομοιότητα στις κορυφές του τριγώνου ABC, η οποία (ομοιότητα) είναι επίσης μετασχηματισμός Moebius. Άρα ο S συμπίπτει συνολικά με την ομοιότητα και έχουμε

από την οποία προκύπτει ότι τα διαγράμματα Moebius που ορίζονται από τις F και F' συμπίπτουν.
Αντίστροφα, αν τα διαγράμματα Moebius συμπίπτουν και οι {F, F'} είναι οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί Moebius, τότε η σύνθεση S που ορίζεται από τον προηγούμενο τύπο είναι επίσης μετασχηματισμός Moebius που αφήνει σταθερό το σημείο στο άπειρο, διότι S(I) = F'(F^-1(I)) = F(I₀) = I. Άρα η S είναι μιά ομοιότητα.

3. Προσδιορισμός του μετασχηματισμού

Θεώρημα-3 Ένα διάγραμμα Moebius καθορίζει πλήρως την κλάση ομοιότητας του τριγώνου ABC καθώς και τον μετασχηματισμό Moebius που απεικονίζει το ισόπλευρο σε ένα αντιπρόσωπο της κλάσης.

Πράγματι, το σημείο I₀ ορίζει επίσης την γωνία Brocard του τριγώνου. Προς τούτο κατασκεύασε πρώτα το Q₁ που είναι το αντίστροφο του I₀ ως προς τον κύκλο c₀. Πάρε κατόπιν το συμμετρικό του K₁ ως προς το O και κατασκεύασε το ισόπλευρο τρίγωνο Q₁W₁W₂ εγγεγραμμένο στον κύκλο με διάμετρο K₁Q₁ και με μία κορυφή στο σημείο Q₁. Απο την συζήτηση στο προαναφερθέν αρχείο, το τρίγωνο Q₁W₁W₂ απεικονίζεται μέσω της F στο τρίγωνο που έχει κορυφές τα δύο σημεία Brocard και το περίκεντρο Q του τριγώνου ABC. Η γωνία Brocard δίδεται από την γωνία της ευθείας (e) και του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία {I₀, Q₁, W₁}.
Γιά την κατασκευή του μετασχηματισμού Moebius F, όρισε το ισοσκελές QWW' με γωνία στην κορυφή του το διπλάσιο της γωνίας Brocard που κατασκευάστηκα προηγουμένως. Κατόπιν όρισε την F ως τον μοναδικό μετασχηματισμό Moebius που απεικονίζει τις κορυφές του Q₁W₁W₂ στις κορυφές του QWW' αντίστοιχα. Γιά να ορισθεί το τρίγωνο εφάρμοσε την F στις κορυφές του A₀B₀C₀.

Παρατήρηση Δοθέντος του κύκλου c εντός του οποίου εγγράφουμε τα τρίγωνα με δοθέν διάγραμμα, μπορούμε από την πληροφορία που φέρει το διάγραμμα να κατασκευάσουμε γεωμετρικά το τρίγωνο ABC, χωρίς να καταφύγουμε στον μετασχηματισμό Moebius.
Πράγματι, συμβολίζοντας με {z,z'} τις τομές του c₀ με την e, ο διπλός λόγος g = (z, z', K₁, I₀) μεταφέρεται μέσω της F στον (w, w', K, I), όπου I είναι το σημείο στο άπειρο και {w,w'} αντιδιαμετρικά σημεία στο άξονα Brocard. Όμως ο διπλός λόγος (w, w', K, I) ισούται με τον προσανατολισμένο λόγο Kw/Kw', από τον οποίο ορίζεται η θέση του K στο ευθύγραμμο τμήμα ww'. Αντίστοιχη παρατήρηση ισχύει και γιά το πρώτο ισοδυναμικό σημείο J και τον λόγο Jw/Jw' που είναι ίσος με τον διπλό λόγο (z, z', O, I₀).
Κατόπιν, χρησιμοποιώντας την γωνία (φ) μπορούμε να βρούμε την θέση του A κατασκευάζοντας τον κύκλο διά του ισοδυναμικού σημείου J, ορθογώνιο του c, σχηματίζοντα γωνία (φ) με την ww' και πέρνοντας την τομή του με τον c. Ο κύκλος αυτός είναι ο Απολλώνιος του τριγώνου ABC που διέρχεται από το A. Παρόμοια κατασκευάζονται και οι άλλοι Απολλώνιοι κύκλοι και ορίζουν με τις τομές τους με τον c τις άλλες κορυφές του τριγώνου ABC.

Δείτε ακόμη

Απολλώνιοι κύκλοι
Αρμονικό τετράπλευρο
Αρμονική διαίρεση
Σημεία και γωνία Brocard
Διπλός λόγος
Διπλός λόγος μιγαδικών
Ισοδυναμικά σημεία
Μετασχηματισμοί Moebius

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952.
F.G.M. Ασκήσεις Γεωμετρίας (Ιησουϊτών) Εκδόσεις Α.Καραβία, 1952, p. 474.
Paris Pamfilos On Some Actions of D₃ on the triangle. (Forum Geometricorum 4(2004) 157-176) [pdf]
Schwerdtfeger, Hans Geometry of complex numbers New York, Dover, 1979.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/