Τα σημεία τομής {P,Q,R} απέναντι πλευρών εξαγώνου ABCDEF εγγεγραμμένου σε κωνική είναι συγγραμμικά επ' ευθείας που ονομάζεται μιά ευθεία Pascal του εξαγώνου.
[1] Μιά απόδειξη του θεωρήματος περιέχεται στο Pascal.html .
[2] Εδώ δίνω μιά άλλη πρωτότυπη απόδειξη που οφείλεται στον Salmon και περιέχεται στην πραγματεία του περι κωνικών (p.221):
Έστω ότι (AB)=0 συμβολίζει την εξίσωση της ευθείας που ενώνει τα σημεία A και B. Επειδή η κωνική διέρχεται από τα τέσσαρα σημεία {A,B,C,D} μπορεί να παρασταθεί υπό μορφήν:
(AB)(CD)-(BC)(AD)=0.
Γιά τον ίδιο λόγο, δηλαδή επειδή διέρχεται από τα τέσσαρα σημεία {D,E,F,A} μπορεί να παρασταθεί υπό μορφήν:
(DE)(FA)-(EF)(AD)=0.
Εξισώνοντας αυτές τις δύο παραστάσεις παίρνουμε την:
(AB)(CD)-(DE)(FA) = ((BC)-(EF))(AD).
Η αριστερή πλευρά παριστάνει μιά κωνική περιγεγραμμένη του (κίτρινου, μη-κυρτού) τετραπλεύρου (q) με πλευρές {AB,DE,CD,AF} που διέρχονται από τα σημεία {A,D,P,Q}. Η δεξιά πλευρά είναι ένα γινόμενο ευθειών, μία εκ των οποίων είναι η διαγώνιος (AD)=0 του (q). Άρα ο άλλος παράγοντας ((BC)-(EF))=0 παριστάνει την άλλη διαγώνιο (PQ)=0 του (q).
Από την μορφή όμως αυτού του παράγοντα έπεται ότι η ευθεία που παριστά διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών (BC)=0 και (EF)=0, που είναι το R.
Πέντε σημεία σε γενική θέση ορίζουν πλήρως μιά κωνική (c). Το θεώρημα του Pascal επιτρέπει την κατασκευή του 6-ου σημείου (F) μιάς οποιασδήποτε ευθείας (a) που διέρχεται από ένα από τα πέντε αυτά σημεία (το A λ.χ.). Έτσι με την βοήθεια αυτού του θεωρήματος, ξεκινώντας από 5 σημεία μπορούμε να κατασκευάσουμε μέσω τομών καταλλήλων ευθειών οσαδήποτε σημεία της κωνικής (c) θέλουμε.
Δοθέντων των {A,B,C,D,E} φέρε μία (μεταβλητή) ευθεία (a) διά του A και βρες την τομή της I με την CD. Έστω επίσης G η τομή των ευθειών (AB, DE). Φέρε την ευθεία GI και βρες την τομή της K με την ευθεία BC. Το έκτο σημείο F επί της ευθείας (a) πρέπει, κατά Pascal, να περιέχεται στην ευθεία KE. Άρα είναι το σημείο τομής της KE και της (a).
Το θεώρημα του Pascal ισχύει επίσης στην περίπτωση εκφυλισμένων εξαγώνων. Δηλαδή, ισχύει και στην περίπτωση που ορισμένες διαδοχικές κορυφές συμπίπτουν. Σε μια τέτοια περίπτωση η ευθεία που ενώνει δύο διαδοχικά σημεία πρέπει να αντικατασταθεί με την εφαπτόμενη στο (διπλό) σημείο. Αυτή η περίπτωση απεικονίζεται και στο παρακάτω σχήμα, όπου στο σημείο J παίρνουμε την εφαπτόμενη της έλλειψης.
Το σχήμα δίνει επίσης την συνταγή για την γεωμετρική κατασκευή της εφαπτομένης στο J, χρησιμοποιώντας άλλα σημεία της κωνικής και τομές ευθειών. Προς τούτο ορίζουμε τέσσαρα άλλα σημεία: I, H, G και L και τα ενώνουμε με ευθείες, όπως στο σχήμα. Όλες οι διακεκομμένες είναι γνωστές. Τα σημεία M, O κατασκευζονται αμέσως. Κατόπιν το N ορίζεται ως σημείον τομής της MO και GH. Απ' αυτό έπεται η κατασκευή της εφαπτόμενης, ενώνοντας το N και το J.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Θεώρημα του Pascal ![[0_0]](Pascal2_files/Pascal2_0_0_0.png)
![[0_1]](Pascal2_files/Pascal2_0_0_1.png)
![[0_0]](Pascal2_files/Pascal2_1_0_0.png)
![[0_1]](Pascal2_files/Pascal2_1_0_1.png)
![[0_0]](Pascal2_files/Pascal2_2_0_0.png)
![[0_1]](Pascal2_files/Pascal2_2_0_1.png)