Ανάλυση ΙΙ (A)

Επίθετα που ξεκινούν A-Mα

Εαρίνο Εξάμηνο 2020

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη και Πέμπτη 9:15-11:00 στο Αμφ Α201.

Ώρες ασκήσεων: Παρασκευή 9:15-11:00 Αμφ Α201.

Κύριο Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Παπαδημητράκη εδώ.

Βοηθητικά Συγγράμματα: Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.
Σημειώσεις Θ. Μήτση για μετρικούς χώρους εδώ.
Σημειώσεις Α. Γιαννόπουλου εδώ (το κομμάτι που αφορά το ολοκλήρωμα Riemann και την ομοιόμορφη συνέχεια).

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη και Πέμπτη 11:00-12:00. Όσο είναι κλειστό το πανεπιστήμιο στείλτε μου email.

'Υλη (από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη): Ομοιόμορφη συνέχεια (4.6), ολοκλήρωμα Riemann (6.1-6.5), σχέση παραγώγου και ολοκληρώματος (7.1-7.3), ακολουθίες συναρτήσεων (9.1-9.2), σειρές συναρτήσεων (10.1-10.3), σύντομη εισαγωγή σε μετρικούς χώρους (μέρος του 11).

Βαθμολογία: Τελικό διαγώνισμα (100%).


Ανακοινώσεις

30/1: Εδώ θα βρείτε ένα χαπάκι ανάλυσης, πατέντα του ντόκτορ Κολουντζάκη. Συνίσταται καθημερινή χρήση ακόμη και αν αισθάνεστε υγιής.

13/2: H πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 3 Απριλίου ώρα 17:15-19:15. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και η εξεταστέα ύλη θα περιλαμβάνει τις ενότητες που αφορούν την ομοιόμορφη συνέχεια και το ολοκλήρωμα Riemann.

10/3: Tα μαθήματα αναστέλλονται για τις επόμενες δύο εβδομάδες. Είναι καλή ευκαιρία να κάνετε επανάληψη στην μέχρι τώρα ύλη.

15/3: Η πρόοδος του μαθήματος ακυρώνεται.

16/3: Στο ημερολόγιο του μαθήματος παραθέτω την υπόλοιπη ύλη του μαθήματος, προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις, και τα σχετικά φυλλάδια ασκήσεων (όπως έγιναν το 2019). Μέχρι να ανοίξει ξανά το πανεπιστήμιο συνιστώ ισχυρά να χρησιμοποιήσετε το χρόνο σας για αυτο-μελέτη. Ειδικότερα, η υπολειπόμενη ύλη μέχρι και το τέλος της 10ης εβδομάδας αποτελεί το πιο εύκολο κομμάτι του μαθήματος και δεν θα δυσκολευτείτε να την κατανοήσετε. Για όποιες απορίες επικοινωνήστε μαζί μου με email. Καλή μελέτη!

21/3: Σε λίγες μέρες θα ξεκινήσω να βάζω στην ιστοσελίδα μου βιντεοσκοπημένα μαθήματα θεωρίας και ασκήσεων (με link στο YouTube). Αυτό θα συνεχιστεί σε εβδομαδιαία βάση για όσο χρειαστεί. Δείτε και εδώ μια σχετική ανακοίνωση. Τα βίντεο θα είναι χρήσιμα και για τους φοιτητές του τμήματος Β.

23/3: Tο πρώτο βιντεοσκοπημένο μάθημα θα το βρείτε εδώ.

26/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 6ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

30/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 7ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ. Σε λίγες μέρες θα ακολουθήσουν και οι ασκήσεις και την επόμενη εβδομάδα θα ακολουθήσουν βιντεοσκοπημένα μαθήματα που αφορούν ύλη της 8ης Εβδομάδας όπως περιγράφεται στο ημερολόγιο του μαθήματος.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (5, 6, 7 Φεβρουαρίου): Aσκήσεις επανάληψης, ομοιόμορφη συνέχεια, παραδείγματα, ακολουθιακός ορισμός ομοιόμορφης συνέχειας Lip-συνέχεια. Παράγραφοι 3.1 και 3.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, σελίδες 52-54: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23.

2η Εβδομάδα (12, 13, 14 Φεβρουαρίου): Oμοιόμορφη συνέχεια σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα, σε φραγμένα διαστήματα, σε μη φραγμένα διαστήματα. Παράγραφος 3.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου και ασκήσεις 2, 9, 10, 12α, από τις ίδιες σημειώσεις ως θεωρία. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, σελίδες 52-54: 55, 11, 13, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28.

3η Εβδομάδα (19, 20, 21 Φεβρουαρίου): Ανω και κάτω αθροίσματα Darboux, άνω και κάτω ολοκλήρωμα, Riemann ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Riemann, παραδείγματα. Παράγραφοι 4.1, 4.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.1, 6.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη σελίδα 237: 6.2.5, 6.2.6, 6.2.8, και του Γιαννόπουλου σελίδα 75: 1-8.

4η Εβδομάδα (26, 27, 28 Φεβρουαρίου): Ολοκληρωσιμότητα τμηματικά συνεχών και μονότονων συναρτήσεων, γραμμικότητα του ολοκληρώματος, βασικές ανισότητες, γινόμενο ολοκληρώσιμων είναι ολοκληρώσιμη, ανισότητα Cauchy-Schwarz. Παράγραφοι 4.3 4.4 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.3 και 6.4 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη σελίδα 249: 6.4.3-6.4.7, 6.4.25.

5η Εβδομάδα (3, 5, 6 Μαρτίου): Σύνθεση συνεχούς με ολοκληρώσιμη, θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρώτικου λογισμού, αόριστο ολοκλήρωμα, παράγουσα συνάρτηση, 1ο και 2ο θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού. Παράγραφοι 4.4, 5.1, 5.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.4, 7.1, 7,2, από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου σελίδες 92-93: 1-6, 13.

6η Εβδομάδα (10 Μαρτίου): Ολοκλήρωση κατά μέρη και 1ο θεώρημα αντικατάστασης. Παράγραφος 5.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου ή Παράγραφοι 7.3.1 και 7.3.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη.

---------------------------------------------------------------------------
Παρακάτω, με σκούρα γράμματα εμφανίζεται η θεωρία που έχω καλύψει στα βιντεοσκοπημένα μαθήματα.
---------------------------------------------------------------------------

Υπόλοιπο 6ης Εβδομάδας (23-27 Mαρτίου): Προσέγγιση με κλιμακωτές συναρτήσεις και εφαρμογές, λήμμα Riemann-Lebesgue. Ασκηση 38 σελίδα 79 και άσκηση 14 σελίδα 93 (για Riemann-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις) από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου. Βίντεο.

7η Εβδομάδα: Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση, παραδείγματα, πράξεις με ομοιόμορφα όρια, κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση. Παράγραφοι 9.1, 9.2 (μέχρι σελίδα 350) από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 9.1.1-9.1.5, 9.2.1-9.2.15. Βίντεο.

8η Εβδομάδα: Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια, ολοκλήρωμα Riemann, παράγωγος, το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass και εφαρμογές, σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων, κριτήριο Weierstrass για ομοιόμορφη σύγκλιση και παραδείγματα. Παράγραφοι 9.2, 9.3, και 10.1 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 9.2.16-9.2.22, 9.3.3, 10.1.1-10.1.11 μόνο τα υποερωτήματα που ζητούν να δείξετε ομοιόμορφη σύγκλιση.

9η Εβδομάδα: Επανάληψη κριτηρίων σύγκλισης σειρών αριθμών, συνέχεια, ολοκληρωσιμότητα, και παραγώγιση σειρών συναρτήσεων, εφαρμογές σε υπολογισμό σειρών, εισαγωγή σε δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης. Παράγραφος 10.1, 10.2 (αρχή) από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 10.1.2, 10.1.7, 10.1.8, 10.1.9, 10.2.1.

10η Εβδομάδα: Διάστημα σύγκλισης δυναμοσειρών και παραδείγματα, παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών, παραδείγματα υπολογισμού δυναμοσειρών, Σειρές Taylor, συντελεστές του υποψήφιου αναπτύγματος Taylor και ίκανες συνθήκες για σύγκλιση (υπόλοιπο Lagrange τάξης n), ανάπτυγμα Taylor βασικών συναρτήσεων. Παράγραφοι 10.2 και 10.3 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 10.2.3, 10.2.4, 10.2.8, 10.2.9, 10.3.1, 10.3.3, 10.3.5, 10.3.6.

11η Εβδομάδα: Ορισμός και παραδείγματα μετρικών στον R^d, σε χώρους ακολουθιών, και χώρους συναρτήσεων, διακριτή μετρική, σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους και παραδείγματα, οριακά σημεία και σημεία συσσώρευσης, κλειστά σύνολα και κλειστότητα συνόλου, παραδείγματα. Παράγραφοι 11.1 και 11.4 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.1.2, 11.4.1, 11.4.2, 11.4.5, 11.4.6, 11.4.9.

12η Εβδομάδα: Περιοχές, ανοιχτά σύνολα, εσωτερικό, σύνορο, παραδείγματα, συνεχείς συναρτήσεις, θεωρήματα για ενώσεις και τομές κλειστών και ανοιχτών συνόλων, ακολουθιακός ορισμός συνέχειας, οι συνεχείς αντριστρέφουν ανοιχτά σε ανοιχτά και κλειστά σε κλειστά, παραδείγματα. Παράγραφοι 11.2 και 11.3 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.2.1-11.2.13, 11.3.4-11.3.7.

13η Εβδομάδα: Ακολουθιακός ορισμός συμπάγειας, συμπάγεια κλειστών και φραγμένων συνόλων στον R^d, συνεχείς συναρτήσεις σε συμπαγή σύνολα λαμβάνουν μέγιστο και ελάχιστο, εικόνες συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές, ασκήσεις σε συμπάγεια. Παράγραφος 11.6 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.6.1, 11.6.6, 11.6.7, 11.6.9, 11.6.21.


Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 1ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 2ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 3ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 4ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 5ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (αργότερα)


  • 6ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (αργότερα)


  • 7ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (αργότερα)


  • 8ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (αργότερα)


  • 9ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (αργότερα)


  • 10ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (αργότερα)