Ανάλυση ΙΙ (A)

Επίθετα που ξεκινούν A-Mα

Εαρίνο Εξάμηνο 2020

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη και Πέμπτη 9:15-11:00 στο Αμφ Α201.

Ώρες ασκήσεων: Παρασκευή 9:15-11:00 Αμφ Α201.

Κύριο Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Παπαδημητράκη εδώ.

Βοηθητικά Συγγράμματα: Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.
Σημειώσεις Θ. Μήτση για μετρικούς χώρους εδώ.
Σημειώσεις Α. Γιαννόπουλου εδώ (το κομμάτι που αφορά το ολοκλήρωμα Riemann και την ομοιόμορφη συνέχεια).

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη και Πέμπτη 11:00-12:00. Όσο είναι κλειστό το πανεπιστήμιο για οποιαδήποτε ερώτηση ή σχόλιο στείλτε μου email.

'Υλη (από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη): Ομοιόμορφη συνέχεια (4.6), ολοκλήρωμα Riemann (6.1-6.5), σχέση παραγώγου και ολοκληρώματος (7.1-7.3), ακολουθίες συναρτήσεων (9.1-9.2), σειρές συναρτήσεων (10.1-10.3), σύντομη εισαγωγή σε μετρικούς χώρους (μέρος του 11).

Βαθμολογία: Τελικό διαγώνισμα (100%).


Ανακοινώσεις

30/1: Εδώ θα βρείτε ένα χαπάκι ανάλυσης, πατέντα του ντόκτορ Κολουντζάκη. Συνιστάται καθημερινή χρήση ακόμη και αν αισθάνεστε υγιής.

13/2: H πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 3 Απριλίου ώρα 17:15-19:15. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και η εξεταστέα ύλη θα περιλαμβάνει τις ενότητες που αφορούν την ομοιόμορφη συνέχεια και το ολοκλήρωμα Riemann.

10/3: Tα μαθήματα αναστέλλονται για τις επόμενες δύο εβδομάδες. Είναι καλή ευκαιρία να κάνετε επανάληψη στην μέχρι τώρα ύλη.

15/3: Η πρόοδος του μαθήματος ακυρώνεται.

16/3: Στο ημερολόγιο του μαθήματος παραθέτω την υπόλοιπη ύλη του μαθήματος, προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις, και τα σχετικά φυλλάδια ασκήσεων. Μέχρι να ανοίξει ξανά το πανεπιστήμιο συνιστώ ισχυρά να χρησιμοποιήσετε το χρόνο σας για αυτο-μελέτη. Ειδικότερα, η υπολειπόμενη ύλη μέχρι και το τέλος της 10ης εβδομάδας αποτελεί το πιο εύκολο κομμάτι του μαθήματος και δεν θα δυσκολευτείτε να την κατανοήσετε. Για όποιες απορίες επικοινωνήστε μαζί μου με email. Καλή μελέτη!

21/3: Σε λίγες μέρες θα ξεκινήσω να βάζω στην ιστοσελίδα μου βιντεοσκοπημένα μαθήματα θεωρίας και ασκήσεων (με link στο YouTube). Αυτό θα συνεχιστεί σε εβδομαδιαία βάση για όσο χρειαστεί. Για όποιες απορίες ή σχόλια επικοινωνήστε μαζί μου με email. Δείτε και εδώ μια σχετική ανακοίνωση. Τα βίντεο θα είναι χρήσιμα και για τους φοιτητές του τμήματος Β.

23/3: Tο πρώτο βιντεοσκοπημένο μάθημα θα το βρείτε εδώ.

26/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 6ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

3/4: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 7ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

9/4: Σε συνενvόνηση με τον Γ. Κωστάκη αποφασίσαμε στο τελικό διαγώνισμα τα δύο τμήματα να εξεταστούν στην ίδια ύλη και σε παραπλήσια θέματα. Ο Γιώργος θα ανεβάζει σημειώσεις και επιπλέον ασκήσεις στη δικιά του ιστοσελίδα εδώ.

10/4: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 8ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

21/4: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 9ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

28/4: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 10ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

5/5: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 11ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

12/5: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 12ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

20/5: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 13ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ. Όλα τα βίντεο θα τα βρείτε εδώ και εδώ.


Τελική Εξέταση

25/5: Η τελική εξέταση θα είναι γραπτή (με θέματα ανάπτυξης) και θα πραγματοποιηθεί σε χώρο του πανεπιστημίου μετά τις 22 Ιουνίου. Για όσους/σες δεν επιθυμούν να εξεταστούν με αυτόν τον τρόπο θα υπάρξει δυνατότητα διαδικτυακής εξέτασης η οποία θα βασιστεί (ενδεχομένως αποκλειστικά) σε προφορική εξέταση η οποία θα γίνει κατ'ιδίαν, με ανοιχτές κάμερες.

26/5: Οδηγίες εδώ για όσους/σες επιθυμούν να λάβουν μέρος στην τελική εξέταση με φυσική παρουσία.
Οδηγίες εδώ για όσους/ες επιθυμούν να λάβουν μέρος στην τελική εξέταση διαδικτυακά.

Οι φοιτητές του τμήματος Β θα βρουν σύντομα σχετικές πληροφορίες στην ιστοσελίδα του κ. Κωστάκη.

Προσοχή: Κάντε ότι σας ζητείται στις παραπάνω οδηγίες μέχρι τις 5 Ιουνίου και κάντε και την εγγραφή σας στα μαθήματα που θέλετε να εξεταστείτε στην ιστοσελίδα του τμήματος εδώ.

Παράκληση 1: Για να διευκολύνετε τη διαδικασία της εξέτασης, δηλώστε συμμετοχή μόνο αν πιστεύετε ότι αξίζετε να περάσετε το μάθημα. Σε αυτή την εξεταστική οι θεοί της ανάλυσης δεν θα εισακούσουν τις προσευχές σας να επιλέξω τα πέντε αγαπημένα σας θέματα και οι ημίθεοι-γκουρού-κονσιλιέρι προβλέπω πως δεν θα καταφέρουν να σας μεταλαμπαδέψουν τις γνώσεις τους. Αφήστε λοιπόν τους αναλυσιακούς σας πειραματισμούς για άλλες εξεταστικές.

Παράκληση 2: Περισσότερες λεπτομέρειες για την εξέταση θα έχετε όταν έρθει η ώρα, παρακαλώ μέχρι τότε μη μου στέλνετε email με ερωτήσεις σχετικές με τις εξετάσεις.

29/5: Διαβάστε τους όρους εξετάσεων με φυσική παρουσία και εξ'αποστάσεως εδώ. Δώστε προσοχή στον κανόνα για χρήση μάσκας η οποία είναι υποχρεωτική για όλους στις εξετάσεις με φυσική παρουσία.

3/6: Υπενθυμίζω ότι όσοι θέλετε να συμμετάσχετε στην τελική εξέταση του μαθήματος πρέπει μέχρι τις 5 Ιουνίου να μου στείλετε ένα τυποποιημένο email ακολουθώντας τις οδηγίες που θα βρείτε παραπάνω.

5/6: Αγαπητοί φοιτητές (του τμήματος Α), κάποιοι από εσάς έχουν δηλώσει στην online φόρμα ότι θέλουν να εξεταστούν στο μάθημα μου, όμως δεν μου έστειλαν προσωπικό email όπως έχω ζητήσει. Κανένα πρόβλημα, γνωρίζω ότι πολλοί από εσάς πατήσατε το online κουμπάκι από κεκτημένη ταχύτητα και σας ευχαριστώ που το ξανασκεφτήκατε και κρίνατε πως είναι καλύτερο να διευκολύνετε τη διοργάνωση της εξέτασης με την απουσία σας. Εγώ θα κάνω τον προγραμματισμό μου με βάση τα email που έχω λάβει (ή θα λάβω σήμερα) και θέση στην τελική εξέταση (με φυσική παρουσία ή διαδικτυακά) θα βρουν μόνο όσοι μου έστειλαν email. Οι υπόλοιποι έχετε τις θερμές ευχές μου για μία πολύ καλή εξεταστική στα υπόλοιπα σας μαθήματα και στο δικό μου πιθανώς το Σεπτέμβρη.

30/6: Η εξέταση με φυσική παρουσία θα πραγματοποιηθεί τη Δευτέρα 6 Ιουλίου 10-12 πμ. Η κατανομή των εγγεγραμμένων φοιτητών σε αίθουσες βρίσκεται εδώ.

Η εξ'αποστάσεως εξέταση θα γίνει στις 7-9 Ιουλίου με το Zoom και θα είναι προφορική. Θα επικοινωνήσω σύντομα με τους εγγεγραμένους φοιτητές ώστε να κανονίσουμε τις λεπτομέρειες.

2/7: Παρακαλούνται όσοι έχουν δηλώσει ότι θα εξεταστούν εξ'αποστάσεως να μου απαντήσουν στο email που έλαβαν στον ιδρυματικό τους λογαριασμό μέχρι αύριο Παρασκευή ώστε να κανονίσουμε την διαδικτυακή προφορική εξέταση.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (5, 6, 7 Φεβρουαρίου): Aσκήσεις επανάληψης, ομοιόμορφη συνέχεια, παραδείγματα, ακολουθιακός ορισμός ομοιόμορφης συνέχειας Lip-συνέχεια. Παράγραφοι 3.1 και 3.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, σελίδες 52-54: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23.

2η Εβδομάδα (12, 13, 14 Φεβρουαρίου): Oμοιόμορφη συνέχεια σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα, σε φραγμένα διαστήματα, σε μη φραγμένα διαστήματα. Παράγραφος 3.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου και ασκήσεις 2, 9, 10, 12α, από τις ίδιες σημειώσεις ως θεωρία. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, σελίδες 52-54: 55, 11, 13, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28.

3η Εβδομάδα (19, 20, 21 Φεβρουαρίου): Ανω και κάτω αθροίσματα Darboux, άνω και κάτω ολοκλήρωμα, Riemann ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Riemann, παραδείγματα. Παράγραφοι 4.1, 4.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.1, 6.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη σελίδα 237: 6.2.5, 6.2.6, 6.2.8, και του Γιαννόπουλου σελίδα 75: 1-8.

4η Εβδομάδα (26, 27, 28 Φεβρουαρίου): Ολοκληρωσιμότητα τμηματικά συνεχών και μονότονων συναρτήσεων, γραμμικότητα του ολοκληρώματος, βασικές ανισότητες, γινόμενο ολοκληρώσιμων είναι ολοκληρώσιμη, ανισότητα Cauchy-Schwarz. Παράγραφοι 4.3 4.4 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.3 και 6.4 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη σελίδα 249: 6.4.3-6.4.7, 6.4.25.

5η Εβδομάδα (3, 5, 6 Μαρτίου): Σύνθεση συνεχούς με ολοκληρώσιμη, θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρώτικου λογισμού, αόριστο ολοκλήρωμα, παράγουσα συνάρτηση, 1ο και 2ο θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού. Παράγραφοι 4.4, 5.1, 5.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.4, 7.1, 7,2, από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου σελίδες 92-93: 1-6, 13.

6η Εβδομάδα (10 Μαρτίου): Ολοκλήρωση κατά μέρη και 1ο θεώρημα αντικατάστασης. Παράγραφος 5.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου ή Παράγραφοι 7.3.1 και 7.3.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη.

---------------------------------------------------------------------------
Παρακάτω, με σκούρα γράμματα εμφανίζεται η θεωρία που έχω καλύψει στα βιντεοσκοπημένα μαθήματα. Όλα τα βίντεο θα τα βρείτε εδώ και εδώ.
---------------------------------------------------------------------------

Υπόλοιπο 6ης Εβδομάδας (23-27 Mαρτίου): Προσέγγιση με κλιμακωτές συναρτήσεις και εφαρμογές, λήμμα Riemann-Lebesgue. Ασκηση 38 σελίδα 79 και άσκηση 14 σελίδα 93 (για Riemann-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις) από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου. Βίντεο

7η Εβδομάδα (30 Μαρτίου-3 Απριλίου): Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση, παραδείγματα, πράξεις με ομοιόμορφα όρια, κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση. Παράγραφοι 9.1, 9.2 (μέχρι την σελίδα 350) από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Δείτε επίσης τις σημειώσεις του Κωστάκη εδώ και εδώ. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 9.1.1-9.1.5, 9.2.1-9.2.15. Βίντεο

8η Εβδομάδα (6-10 Απριλίου): Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια, ολοκλήρωμα Riemann, παράγωγος, το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass και εφαρμογές. Παράγραφοι 9.2, 9.3 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 9.2.16-9.2.22, 9.3.3. Βίντεο

9η Εβδομάδα (20-24 Απριλίου): Σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων, κριτήριο Weierstrass για ομοιόμορφη σύγκλιση και παραδείγματα, συνέχεια, ολοκληρωσιμότητα, και παραγώγιση σειρών συναρτήσεων, εφαρμογές σε υπολογισμό σειρών. Παράγραφος 10.1, από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 10.1.1-10.1.11. Βίντεο

10η Εβδομάδα (27 Απριλίου-1 Μαϊου): Ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης δυναμοσειρών και παραδείγματα, παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών, παραδείγματα υπολογισμού δυναμοσειρών, σειρές Taylor, συντελεστές του υποψήφιου αναπτύγματος Taylor και ίκανες συνθήκες για σύγκλιση (υπόλοιπο Lagrange τάξης n), ανάπτυγμα Taylor βασικών συναρτήσεων. Παράγραφοι 10.2 και 10.3 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 10.2.1, 10.2.3, 10.2.4, 10.2.8, 10.2.9, 10.3.1, 10.3.3, 10.3.5, 10.3.6. Βίντεο

11η Εβδομάδα (4-8 Μαϊου): Ορισμός και παραδείγματα μετρικών στον R^d, σε χώρους ακολουθιών, και χώρους συναρτήσεων, διακριτή μετρική, σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους και παραδείγματα, οριακά σημεία και σημεία συσσώρευσης, κλειστά σύνολα και κλειστότητα συνόλου, παραδείγματα, ενώσεις και τομές κλειστών συνόλων. Παράγραφοι 11.1 και 11.4 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.1.2, 11.4.1, 11.4.2, 11.4.5, 11.4.6, 11.4.9. Βίντεο

12η Εβδομάδα (11-15 Μαϊου): Περιοχές, ανοιχτά σύνολα, εσωτερικό, σύνορο, παραδείγματα, συνεχείς συναρτήσεις, ενώσεις και τομές ανοιχτών συνόλων, ακολουθιακός ορισμός συνέχειας, οι συνεχείς αντριστρέφουν ανοιχτά σε ανοιχτά και κλειστά σε κλειστά, παραδείγματα. Παράγραφοι 11.2 και 11.3 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.2.1-11.2.13, 11.3.4-11.3.7. Βίντεο

13η Εβδομάδα: Ακολουθιακός ορισμός συμπάγειας, συμπάγεια κλειστών και φραγμένων συνόλων στον R^d, συνεχείς συναρτήσεις σε συμπαγή σύνολα λαμβάνουν μέγιστο και ελάχιστο, εικόνες συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές, ομοιόμορφη συνέχεια σε συμπαγή σύνολα, πληρότητα θεωρία και παραδείγματα. Παράγραφοι 11.5 (Σελ 425-426) 11.6 (Σελ 435-438) από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.5.3, 11.6.1, 11.6.6, 11.6.7, 11.6.9, 11.6.21. Βίντεο


Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 1ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 2ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 3ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 4ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 5ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 6ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 7ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 8ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 9ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 10ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις