Ανάλυση ΙΙ

Εαρίνο Εξάμηνο 2025

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Τετάρτη 15:15-17:00 στο Αμφ Α201.

Ώρες ασκήσεων: Παρασκευή 13:15-17:00 A201.

Κύριο Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Παπαδημητράκη εδώ.

Βοηθητικά Συγγράμματα: Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.
Σημειώσεις Θ. Μήτση για μετρικούς χώρους εδώ.
Σημειώσεις Α. Γιαννόπουλου εδώ (το κομμάτι που αφορά το ολοκλήρωμα Riemann και την ομοιόμορφη συνέχεια).

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Δευτέρα και Τετάρτη 17:00-18:00 .

Ύλη (από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη): Ομοιόμορφη συνέχεια (4.6), ολοκλήρωμα Riemann (6.1-6.5), σχέση παραγώγου και ολοκληρώματος (7.1-7.3), ακολουθίες συναρτήσεων (9.1-9.2), σειρές συναρτήσεων (10.1-10.3), σύντομη εισαγωγή σε μετρικούς χώρους (μέρος του 11).

Βαθμολογία: Πρόοδος (35%) και τελικό διαγώνισμα (65%). Και τα δύο θα είναι διαγωνίσματα ανάπτυξης.

Ανακοινώσεις

10/2: Τα μαθήματα ασκήσεων θα ξεκινήσουν την Παρασκευή 21 Φεβρουαρίου στις 13:15.

17/2: H πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 28 Μαρτίου ώρα 13:15-15:15 στα αμφιθέατρα Α201 και Α203. Θα είναι ανάπτυξης και η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που αφορούν την ομοιόμορφη συνέχεια και το ολοκλήρωμα Riemann. Η πρόοδος είναι υποχρεωτική για όλους τους φοιτητές εκτός αυτών που είναι στο 6ο ή μεγαλύτερο έτος, και δεν θα συνυπολογιστεί για την εξεταστική του Σεπτεμβρίου.

17/3: Τo μάθημα ασκήσεων την Παρασκευή 21 Μαρτίου θα γίνει στις 15:15-18:00 στο αμφιθέατρο Α201.

1/4: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Τα αποτελέσματα της προόδου είναι εδώ. Όσοι θέλετε να δείτε το γραπτό σας μπορείτε να περάσετε από το γραφείο μου την Παρασκευή 12:00-13:00 ή αμέσως μετά τις ασκήσεις.

14/4: Το μάθημα της Δευτέρας 28/4 δεν θα γίνει και θα αναπληρωθεί την Τρίτη 29/4 στις 17:15-19:00 στο αμφιθέατρο Α201.

30/4: Το μάθημα της Τετάρτης 14/5 δεν θα γίνει και θα αναπληρωθεί την Τρίτη 13/5 στις 17:15-19:00 στο αμφιθέατρο Α201.

2/5: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 18 Ιουνίου ώρα 9:00-11:30 στα αμφιθέατρα Α201-Α203. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και η εξεταστέα ύλη θα περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που θα καλύψουμε.

22/5: Το μάθημα ασκήσεων την Παρασκευή 23/5 θα γίνει στην Ε204.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (10, 12 Φεβρουαρίου): Aσκήσεις επανάληψης, ομοιόμορφη συνέχεια, παραδείγματα, ακολουθιακός ορισμός ομοιόμορφης συνέχειας. Παράγραφοι 3.1 και 3.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, σελίδες 52-54: 2, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 23.

2η Εβδομάδα (17, 19 Φεβρουαρίου): Lip-συνέχεια, ομοιόμορφη συνέχεια σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα, σε φραγμένα διαστήματα, σε μη φραγμένα διαστήματα. Παράγραφος 3.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου και ασκήσεις 2, 9, 10, 12α, από τις ίδιες σημειώσεις ως θεωρία. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, σελίδες 52-54: 4, 55, 11, 13, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28.

3η Εβδομάδα (24, 26 Φεβρουαρίου): Ανω και κάτω αθροίσματα Darboux, άνω και κάτω ολοκλήρωμα, Riemann ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Riemann, παραδείγματα. Παράγραφοι 4.1, 4.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.1, 6.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη σελίδα 237: 6.2.5, 6.2.6, 6.2.8, και του Γιαννόπουλου σελίδα 75: 1-8.

4η Εβδομάδα (5 Μαρτίου): Ολοκληρωσιμότητα συνεχών και μονότονων συναρτήσεων, Παράγραφος 4.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.3 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη σελίδα 249: 6.4.4-6.4.7, 6.4.25.

5η Εβδομάδα (10, 12 Μαρτίου): Σύνθεση Lip-συνεχούς με ολοκληρώσιμη, γραμμικότητα του ολοκληρώματος, βασικές ανισότητες, γινόμενο ολοκληρώσιμων είναι ολοκληρώσιμη, ανισότητα Cauchy-Schwarz. Παράγραφοι 4.3 4.4 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.3 και 6.4 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου σελίδες 75-76.

6η Εβδομάδα (17, 19 Μαρτίου): Ολοκληρωσιμότητα τμηματικά συνεχών και μονότονων συναρτήσεων, θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρώτικου λογισμού, αόριστο ολοκλήρωμα, παράγουσα συνάρτηση, 1ο και 2ο θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού. Παράγραφοι 4.4, 5.1, 5.2 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου, ή 6.4, 7.1, 7,2, από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου σελίδες 92-93: 1-6, 13.

7η Εβδομάδα (24, 26 Μαρτίου): Ολοκλήρωση κατά μέρη και 1ο θεώρημα αντικατάστασης, προσέγγιση με κλιμακωτές συναρτήσεις, λήμμα Riemann-Lebesgue, ασκήσεις επανάληψης για την πρόοδο. Παράγραφος 5.3 από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου ή Παράγραφοι 7.3.1 και 7.3.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη, και άσκηση 38 σελίδα 79 και άσκηση 14 σελίδα 93 (για Riemann-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις) από τις σημειώσεις του Γιαννόπουλου.

8η Εβδομάδα (31 Μαρτίου, 2 Aπριλίου): Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση, παραδείγματα, ομοιόμορφα Cauchy συγκλίνουν ομοιόμορφα, συνέχεια, ολοκλήρωμα Riemann. Παράγραφοι 9.1, 9.2 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 9.2.1-9.2.22.

9η Εβδομάδα (7, 9 Απριλίου): Παράγωγος και ομοιόμορφη σύγκλιση, το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass και εφαρμογές, σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων, κριτήριο Weierstrass για ομοιόμορφη σύγκλιση και παραδείγματα. Παράγραφοι 9.2, 9.3, και 10.1 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 9.3.3, 10.1.1-10.1.11 μόνο τα υποερωτήματα που ζητούν να δείξετε ομοιόμορφη σύγκλιση.

10η Εβδομάδα (29, 30 Απριλίου): Επανάληψη κριτηρίων σύγκλισης σειρών αριθμών, συνέχεια, ολοκληρωσιμότητα, και παραγώγιση σειρών συναρτήσεων, εφαρμογές σε υπολογισμό σειρών, εισαγωγή σε δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης. Παράγραφος 10.1, 10.2 (αρχή) από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 10.1.2, 10.1.7, 10.1.8, 10.1.9, 10.2.1.

11η Εβδομάδα (5, 7 Μαϊου): Διάστημα σύγκλισης δυναμοσειρών και παραδείγματα, παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειρών, παραδείγματα υπολογισμού δυναμοσειρών, Σειρές Taylor, συντελεστές του υποψήφιου αναπτύγματος Taylor και ίκανες συνθήκες για σύγκλιση (υπόλοιπο Lagrange τάξης n), ανάπτυγμα Taylor βασικών συναρτήσεων, ορισμός και παραδείγματα μετρικών στον R^d και χώρους συναρτήσεων, διακριτή μετρική, Παράγραφοι 10.2, 10.3, και 11.1 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 10.2.3, 10.2.4, 10.2.8, 10.2.9, 10.3.1, 10.3.3, 10.3.5, 10.3.6, 11.1.2.

12η Εβδομάδα (12, 13 Μαϊου): Ορισμός και παραδείγματα μετρικών στον R^d και χώρους συναρτήσεων, διακριτή μετρική, σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους και παραδείγματα, οριακά σημεία και σημεία συσσώρευσης, κλειστά σύνολα και κλειστότητα συνόλου, περιοχές, ανοιχτά σύνολα, εσωτερικό, σύνορο, παραδείγματα, θεωρήματα για ενώσεις και τομές κλειστών και ανοιχτών συνόλων. Παράγραφοι 11.2, 11.4 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.2.1-11.2.13, 11.4.1, 11.4.2, 11.4.5, 11.4.6, 11.4.9.

13η Εβδομάδα (19, 21 Μαϊου): Συνεχείς συναρτήσεις, ακολουθιακός ορισμός συνέχειας, οι συνεχείς αντριστρέφουν ανοιχτά σε ανοιχτά και κλειστά σε κλειστά, παραδείγματα, ακολουθιακός ορισμός συμπάγειας, συμπάγεια κλειστών και φραγμένων συνόλων στον R^d, συνεχείς συναρτήσεις σε συμπαγή σύνολα λαμβάνουν μέγιστο και ελάχιστο, εικόνες συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές, ασκήσεις σε συμπάγεια. Παράγραφοι 11.3 και 11.6 από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη. Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Παπαδημητράκη: 11.3.4-11.3.7, 11.6.1, 11.6.6, 11.6.7, 11.6.9, 11.6.21.

Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 1ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (και λύσεις ασκήσεων *)


  • 2ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (και λύσεις ασκήσεων *)


  • 3ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (και λύσεις ασκήσεων *)


  • 4ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις (και λύσεις ασκήσεων *)


  • 5ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 6ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 7ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 8ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 9ο Φυλλάδιο και Υποδείξεις


  • 10ο Φυλλάδιο