Α 15 Γεωμετρική Θεωρία Ομάδων

Σε αυτήν τη σελίδα θα εμφανίζονται πληροφορίες σχετικά με το μεταπτυχιακό μάθημα Α 15 Γεωμετρική Θεωρία Ομάδων, που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης το εαρινό εξάμηνο 2017-18.

Εργασία και εξέταση.

Στόχος της εργασίας είναι να αναζητήσετε πληροφορίες και να βρείτε βιβλιογραφία για το θέμα, και μετά από συνεννόηση μαζί μου να επιλέξετε το συγκεκριμένο αντικείμενο, (μέρος μίας θεωρίας, ένα αποτέλεσμα ή ένα παράδειγμα) το οποίο θα παρουσιάσετε γραπτά σε μία εργασία 10-15 σελίδων, και προφορικά σε μία διάλεξη περίπου 40 λεπτών.
Η γραπτή εργασία θα πρέπει να δακτυλογραφηθεί σε LaTeX, και να μου σταλεί ηλεκτρονικά μέχρι τις 23:59 την Κυριακή, 3 Ιουνίου. Εάν δεν έχετε ολοκληρώσει την εργασία, πρέπει να στείλετε ότι έχετε, δακτυλογραφημένο ή χειρόγραφο, μέχρι τις 23:59 την Κυριακή, 3 Ιουνίου, και να στείλετε την ολοκληρωμένη εργασία όσο το δυνατόν συντομότερα, μέσα στην επόμενη εβδομάδα.
Η προφορική παρουσίαση πρέπει να απευθύνεται στο ακροατήριο του μαθήματος, με έμφαση στην παρουσίαση και επεξήγηση του θέματος. Με δεδομένο την περιορισμένη έκταση της εργασίας και του χρόνου παρουσίασης, δεν αναμένω να παρουσιάσετε πλήρεις αποδείξεις.
Η παρουσίαση θα γίνει στις 19 και 20 Ιουνίου.

Η εργασία και η παρουσίαση θα συνεισφέρουν το 30% του τελικού βαθμού, ενώ το υπόλοιπο 70% η γραπτή εξέταση.

Η εξέταση του μαθήματος θα γίνει τη Δευτέρα, 11 Ιουνίου, στις 10 π.μ. με 2 μ.μ.

Θέματα για εργασία:
Επεκτάσεις ομάδων, ημιευθύ άθροισμα. (Φραγκάκη)
Ομάδες παραγόμενες από ανακλάσεις, ή Ομάδες Schottky. (Φουρτζής)
Το Θεώρημα Poincaré για θεμελιώδη πολύγωνα. (Δακορώνια)
Υποομάδες πεπερασμένου δείκτη στο PSL(2, Z). (Βαρδουλάκης)
Γραφήματα Cayley. (Αποστολάκης)
Εισαγωγή στο Word Problem. (Τσιντάρη)
Word Problem και Regular Languages. (Φουρφουλάκη)
Αυτόματες ομάδες. (Χομπιτάκη)
Γινόμενο wreath και η Ομάδα του Φανοκόρου (Lamplighter group). (Βουτουφιανάκης)
Ομάδες Πλεξιδίων (Braid groups). (Βλαχάκης)
Η διχοτομία Tits (Tits alternative). (Τσάνγκο)

Μέθοδος αξιολόγησης
Η αξιολόγηση του μαθήματος θα βασιστεί στην τελική εξέταση και σε παρουσιάσεις εργασιών.
Κάθε εβδομάδα θα αναρτώνται φυλλάδια ασκήσεων. Είναι απαραίτητο να προσπαθείτε να λύσετε τις ασκήσεις των φυλλαδίων.


Στο μάθημα θα μελετήσουμε τη Θεωρία Ομάδων, με έμφαση στις πεπερασμένα παραγόμενες άπειρες ομάδες, χρησιμοποιώντας εργαλεία από τη Συνδυαστική και τη Γεωμετρία.
Για την παρακολούθηση του μαθήματος απαιτούνται βασικές γνώσεις Θεωρίας Ομάδων.
 


Ώρες Διαλέξεων: Δευτέρα, 3 - 5, και Πέμπτη, 9 - 11, Β 212


Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης
Γραφείο: Γ205
Ηλεκτρονικό Ταχυδρομείο: chrisk@uoc.gr
Ώρες Γραφείου: Τρίτη, 11-12 και Πέμπτη, 11-12


Βιβλία:
Joseph J. Rotman, An Introduction to Group Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1995.
John Meier, Groups, Graphs and Trees, LMS Student Texts 73, Cambridge University Press, 2008.
Jean-Pierre Serre, Trees, Springer, 1980
Pierre de la Harpe, Topics in Geometric Group Theory, Chicago Lectures in Mathematics, 2000.

Ημερολόγιο μαθήματος

Εβδομάδα 1, 5-9/2:

Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων. Θεωρήματα ισομορφισμού.

Σημειώσεις 1

Σημειώσεις 2

Φυλλάδιο 1

Εβδομάδα 2, 12-16/2:

Άθροισμα και γινόμενο ομάδων. Δράσεις Ομάδων.

Σημειώσεις 3 Άθροισμα και γινόμενο

Σημειώσεις 4

Φυλλάδιο 2

Εβδομάδες 3 και 4, 19-23/2 και 26/2-2/3:

Ελεύθερες Ομάδες. Θεώρημα Nielsen-Schreier.

Σημειώσεις 5 Ελεύθερες Ομάδες

Σημειώσεις 6

Σημειώσεις 7 Θεώρημα Nielsen - Schreier

Σημειώσεις 8

Φυλλάδιο 3

Εβδομάδα 5, 5-9/3:

Θεμελιώδης Ομάδα. Καλυπτικές προβολές.

Σημειώσεις 9 Θεμελιώδης Ομάδα

Σημειώσεις 10 Θεώρημα Tietze

Σημειώσεις 11 Καλυπτικές προβολές

Εβδομάδα 6, 12-16/3:

Ύπαρξη καλυπτικών προβολών. Καθολική καλυπτική προβολή. Παραδείγματα. Θεώρημα Nielsen-Schreier.

Σημειώσεις 12 Καθολική καλυπτική προβολή.

Σημειώσεις 13

Φυλλάδιο 4

Εβδομάδα 7, 19-23/3:

Ελεύθερο γινόμενο ομάδων. PSL(2, Z).
Θεώρημα Kurosh.

Σημειώσεις 14 Ελεύθερο γινόμενο ομάδων. PSL(2, Z).

Σημειώσεις 15 Θεώρημα Kurosh.

Φυλλάδιο 5


Εβδομάδα 8, 26-30/3:

Αμαλγάματα.

Σημειώσεις 16 Αμαλγάματα.


Εβδομάδα 9, 16-20/4:

Αμαλγάματα.
Επεκτάσεις ΗΝΝ.

Σημειώσεις 17 Αμαλγάματα (2).

Σημειώσεις 18 Επεκτάσεις HNN.

Φυλλάδιο 6

Φυλλάδιο 7

Εβδομάδα 10, 23-27/4:

Γραφήματα Cayley.
Δράσεις ομάδων σε δέντρα.

Την Πέμπτη, 26/4, δεν έγινε διάλεξη. Η επόμενη διάλεξη θα γίνει κανονικά τη Δευτέρα, 30/4.

Σημειώσεις 19 Γραφήματα Cayley. Δράσεις σε δέντρα.


Εβδομάδα 11, 30/4-4/5:

Δέντρα και αμαλγάματα.
Δέντρα και γραφήματα ομάδων.

Σημειώσεις 20 Δέντρα και αμαλγάματα.

Σημειώσεις 21 Δέντρα ομάδων.

Εβδομάδα 12, 7-11/5:

Γραφήματα ομάδων. Το Θεώρημα Δομής της Θεωρίας Bass-Serre.

Η λεκτική μετρική σε μία ομάδα.

Σημειώσεις 22 Γράφημα ομάδων

Σημειώσεις 23 Το Θεώρημα Δομής της Θεωρίας Bass-Serre.

Σημειώσεις 24 Η λεκτική μετρική σε μία ομάδα.

Εβδομάδα 13, 14-18/5:

Quasi-ισομετρίες.

Αύξηση ομάδων. Το Θεώρημα Gromov.

Σημειώσεις 25 Quasi-ισομετρίες.

Σημειώσεις 26 Η συνάρτηση αύξησης μίας ομάδας.

Σημειώσεις 27 Εκθετική και πολυωνυμική αύξηση. Το Θεώρημα Gromov.


Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 1,

Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 2,

Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 3,

Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 4,

Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 5,

Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 6,

Απαντήσεις ή υποδείξεις στο Φυλλάδιο 7.